Soit \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la fonction définie par
\[f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}&\text{ si } x\lt 0\,,\\
x^2&\text{ si }x\geqslant 0
\end{cases}
\]
Alors, en \(x=0\), \(f\) est
dérivable
dérivable à gauche mais pas à droite
dérivable à droite mais pas à gauche
dérivable à gauche et à droite mais n'est pas dérivable
Remarquons que \(f\) est continue en zéro puisqu'elle est continue à droite et à
gauche en ce point. En effet,
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to 0^-}f(x)&=
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin(x^2)}{x}\\
&= \lim_{x\to 0^-}x\cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2}\\
&=0\cdot 1=0\,.
\end{aligned}\]
Ensuite,
\[
\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
=
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin(x^2)}{x^2}=1\,,
\]
donc \(f\) est dérivable à gauche en zéro et \(f'_-(0)=1\),
et
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
=
\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2}{x}=0\,,
\]
donc \(f\) est dérivable à droite en zéro et \(f'_+(0)=0\).
Mais \(f\) n'est pas dérivable en zéro puisque \(f'_-(0)\neq f'_+(0)\).