On doit montrer que pour tout \(\varepsilon> 0\), il existe un \(\delta> 0\) tel que \[ 0<|x|\leqslant \delta \quad\Rightarrow\quad \left| \frac{x^2+1}{x^2+4}-\frac14 \right|\leqslant \varepsilon \] Commençons par remarquer que \[ \left| \frac{x^2+1}{x^2+4}-\frac14 \right|= \frac{3x^2}{4(x^2+4)} \] On peut définir le \(\delta\) de plusieurs façons. Par exemple:

• Puisque \(x^2\geqslant 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on peut d'abord majorer \[ \frac{3x^2}{4(x^2+4)} \leqslant \frac{3x^2}{16} \] Si on impose \[ \frac{3x^2}{16}\leqslant \varepsilon\,, \] cela mène à poser \[ \delta := \sqrt{\frac{16\varepsilon}{3}} =\frac{4\sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{3}} \] On a donc, lorsque \(0<|x|\leqslant \delta\), \[ \left| \frac{x^2+1}{x^2+4}-\frac14 \right| \leqslant \frac{3x^2}{16} \leqslant \frac{3\delta^2}{16}=\varepsilon\,. \]
• On peut aussi imposer directement \[ \frac{3x^2}{4(x^2+4)}\leqslant \varepsilon\,, \] qui est équivalent à prendre \(|x|\leqslant \delta\), avec (en supposant que \(\varepsilon< \frac34\)) \[ \delta:=\frac{4\sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{3-4\varepsilon}} \] On a donc, lorsque \(0<|x|\leqslant \delta\), \[ \left| \frac{x^2+1}{x^2+4}-\frac14 \right| =\frac{3x^2}{4(x^2+4)} \leqslant \frac{3\delta^2}{4(\delta^2+4)}=\varepsilon\,. \]