Question 29
(Question ouverte)
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x+3}{x+1}&\text{ si }x\geqslant 0\,,\\ \displaystyle \frac{1-e^{bx}}{x}&\text{ si }x< 0\,, \end{cases} \] où \(b\in \mathbb{R}\) est un paramètre.
  1. Montrer qu'il existe une valeur de \(b\) pour laquelle \(f\) est continue en \(x_0=0\).
  2. Pour la valeur de \(b\) trouvée au point précédent, est-ce que \(f\) est dérivable en \(x_0=0\)?
  1. \(f\) est continue en \(0\) si et seulement si \(\lim_{x\to 0}f(x)\) existe et vaut \[ \lim_{x\to 0}f(x)=f(0). \] Or \(f(0)=\frac{0+3}{0+1}=3\), puis \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}f(x) &= \lim_{x\to 0^+}\frac{x+3}{x+1} = \frac{0+3}{0+1}=3\,,\\ \lim_{x\to 0^-}f(x) &= \lim_{x\to 0^-} \frac{1-e^{bx}}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{1-(1+bx+x\varepsilon(x))}{x} =-b \end{aligned}\] (on peut aussi calculer cette limite par d'autres moyens). Donc \(\lim_{x\to 0}f(x)\) existe si et seulement si \(b=-3\), et pour cette valeur de \(b\), \(\lim_{x\to 0}f(x)=3\), qui implique aussi que \(f\) est continue en \(0\).
  2. On prend \(b=-3\). Pour que \(f\) soit dérivable en \(0\), il faut que la limite \[f'(0)= \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} \] existe et soit finie. On sait que ceci est vrai si et seulement si les dérivées latérales \(f'_-(0)\) et \(f'_+(0)\) existent et sont égales. Or \[\begin{aligned} f'_-(0) &=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{\frac{1-e^{-3h}}{h}-3}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{1-e^{-3h}-3h}{h^2}\\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{1-(1-3h+\frac{(-3h)^2}{2}+h^2\varepsilon(h))-3h}{h^2}\\ &=-\frac92\,, \end{aligned}\] (on peut aussi utiliser BH), alors que \[\begin{aligned} f'_+(0) &=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{h+3}{h+1}-3}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{-2}{h+1}\\ &=-2\,, \end{aligned}\] donc \(f\) n'est pas dérivable en \(0\).