Question 12
Une des solutions de l'équation \(z^5 = \left(1 + \sqrt{3}\, \mathrm{i} \right)^2\) est
  • \(z= \sqrt[5]{2}\,\left(\cos \left(\frac{16 \pi}{15}\right) + \mathrm{i} \sin \left(\frac{16 \pi}{15}\right)\right) \)
  • \(z= \sqrt[5]{4}\, \left(\cos \left(\frac{16 \pi}{15}\right) + \mathrm{i} \sin\left( \frac{16 \pi}{15} \right)\right)\)
  • \(z= \sqrt[5]{4}\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{15}\right) + \mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{15} \right)\right)\)
  • \(z= \sqrt[5]{2}\,\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{15}\right) + \mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{15}\right)\right) \)
\[\[\begin{aligned} |z|^2 &= \left| \bigl( \cos(1)+\mathsf{i} \sin(1) \bigr) + \bigl( \cos(1/3)+\mathsf{i} \sin(1/3) \bigr) \right|^2\\ &= \left| \bigl( \cos(1)+\cos(1/3) \bigr) + \mathsf{i} \bigl( \sin(1)+\mathsf{i} \sin(1/3) \bigr) \right|^2\\ &= \bigl( \cos(1)+\cos(1/3) \bigr)^2 + \bigl( \sin(1)+\mathsf{i} \sin(1/3) \bigr)^2 \\ &=2+2\bigl(\cos(1)\cos(1/3)+\sin(1)\sin(1/3)\bigr)\\ &=2+2\bigl(\cos(1)\cos(-1/3)-\sin(1)\sin(-1/3)\bigr)\\ &=2+2\cos(1-1/3) \end{aligned}\]\] Vidéo (David Strütt)