Analyse 1 MATH-101(pi)

Soit, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(a_n = \left( \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}\, \right)\sin\left(\frac1n\right)\). Alors

les séries \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) et \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) convergent.
la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) converge, mais ne converge pas absolument.
la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) diverge.
la série \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) diverge.

Remarquons que \(a_n\gt 0\) pour tout \(n\), et donc \(|(-1)^na_n|=a_n\).

En multipliant et divisant par le conjugué, \[ \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} \leqslant \frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0\,. \] On sait aussi que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\frac1n)}{\frac1n}=1\,. \] On peut donc poser \[ b_n:= \frac{\frac1n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{3/2}}\,, \] et on obtient \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac12\gt 0\,. \] Comme \(\sum_{n}b_n\) converge puisque \(3/2\gt 1\), \(\sum_na_n\) converge aussi.

Question 03