Question 31
(Question ouverte)
Soit \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}a_n\) une série absolument convergente.
  1. (2pts) Montrez que \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \bigl( a_{2n} +a_{2n+1}+\cdots +a_{3n-1}+a_{3n}\bigr)=0\).
  2. (4pts) En justifiant soigneusement votre raisonnement (en particulier, en énonçant précisément les résultats généraux dont vous pourriez avoir besoin), montrez que la série \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}(-1)^na_ne^{a_n}\) est aussi absolument convergente.
  1. Puisque \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) est absolument convergente, elle est aussi convergente, ce qui implique que la suite de ses sommes partielles \[ s_n=a_0+a_1+\cdots+a_n \] possède une limite: \(s_n\to L\). Remarquons maintenant que \[ a_{2n} +a_{2n+1}+\cdots +a_{3n-1}+a_{3n}=s_{3n}-s_{2n-1}\,. \] Puisque \(s_{3n}\to L\) et \(s_{2n-1}\to L\), on a aussi que \[ s_{3n}-s_{sn-1}\to L-L=0\,. \]
  2. Puisque \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge, son terme général tend vers zéro; il est donc aussi borné: il existe une constante \(C\) telle que \(|a_n|\leqslant C\) pour tout \(n\). En particulier, ceci implique que \(e^{a_n}\leqslant e^C\) pour tout \(n\).

    On peut donc écrire \[0\leqslant \left|(-1)^na_ne^{a_n}\right|\leqslant e^C |a_n| \] Puisque \(\sum_{n\geqslant 0}|a_n|\) converge (car la série converge absolument), \(\sum_{n\geqslant 0}e^C|a_n|\) converge aussi, et donc par le critère de comparaison \(\sum_{n\geqslant 0}|(-1)^na_ne^{a_n}|\) converge aussi. Donc \(\sum_{n\geqslant 0}(-1)^na_ne^{a_n}\) est absolument convergente.