Cours 22, Vendredi 28 nov
Communications:
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12.9 Intégration: fonctions rationnelles
- On a vu que: \(f\in C^{k+1}(I)\Rightarrow\) (\(f\) possède un \(DL(k)\) autour de tout
point \(x_0\in I\)). Mais le contraire n'est pas vrai!
Par exemple, la fonction
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^3&\text{ si }x\in\mathbb{Q}\,,\\
0 & \text{ si }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
\]
possède un \(DL(2)\) autour de \(x_0=0\), donné par
\[
f(x)=0+0x+0x^2+x^2\varepsilon(x)\,,
\]
avec
\[
\varepsilon(x)=
\begin{cases}
x&\text{ si }x\in \mathbb{Q}\,,\\
0 & \text{ si }x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
\]
Mais \(f''\) n'existe nulle part (car \(f\) est discontinue en tout point
\(x\neq 0\)).
Et en fait on peut donner des exemples de fonctions qui possèdent des
développements limités de tous les ordres, mais qui ne sont même pas deux
fois dérivables en \(x_0\).
Matière:
11. Séries entières et séries de Taylor
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