Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

1.3 Ordre: \(\leqslant,\geqslant,\lt,\gt\)

La deuxième caractéristique de l'ensemble des nombres réels est que deux réels \(x,y\) peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux, \(x=y\), il n'y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts, \(x\neq y\), alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l'autre:

Si \(x\) est plus petit que \(y\), on note \(x\lt y\).
Si \(x\) est plus grand que \(y\), on note \(x\gt y\).

Le fait que l'on puisse ainsi comparer n'importe quelle paire de réels distincts représente ce qu'on appelle un ordre total . L'ordre total représente l'intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite. \(x\lt y\): ''\(x\) est à gauche de \(y\)'', \(x\gt y\): ''\(x\) est à droite de \(y\)'',

Lorsqu'on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s'ils sont distincts:

Si \(x\) est plus petit ou égal à \(y\), on note \(x\leqslant y\).
Si \(x\) est plus grand ou égal à \(y\), on note \(x\geqslant y\).

Exemple: Toutes les inégalités ci-dessous sont vraies: \[ 0\lt \tfrac12 \leqslant 1\,,\qquad 1 \geqslant 1\,,\qquad 3\lt \pi\lt 4\leqslant 4.1\,. \] Par contre, les suivantes sont fausses: \[ 0\gt 0\,,\qquad -1 \lt -2\,,\qquad 0.99999\cdots \lt 1\,. \]

Énonçons les propriétés des relations ''\(\leqslant, \geqslant, \lt,\gt\)'':

Pour toute paire \(x,y\in \mathbb{R}\), on a soit \(x\leqslant y\), soit \(y\leqslant x\). Si on a à la fois \(x\leqslant y\) et \(y\leqslant x\), alors \(x=y\).
\(x\leqslant x\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
Si \(x\leqslant y\) et \(y\leqslant z\), alors \(x\leqslant z\).
Si \(x\leqslant y\), alors \(x+z\leqslant y+z\) pour tout \(z\in \mathbb{R}\).
Si \(0\leqslant x\) et \(0\leqslant y\), alors \(0\leqslant x\cdot y\)

La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu'un nombre \(x\) est plus petit ou égal à un nombre \(z\), on passera souvent par l'utilisation d'un réel intermédiaire \(y\), et on vérifiera les deux relations ''\(x\leqslant y\)'', ''\(y\leqslant z\)'', qui ensemble garantissent que \(x\leqslant z\).

Signe

Un réel \(x\in \mathbb{R}\) est dit

positif (resp. strictement positif) si \(x\geqslant 0\) (resp. \(x\gt 0\)),
négatif (resp. strictement négatif) si \(x\leqslant 0\) (resp. \(x\lt 0\)).

Quiz 1.3-1 : (Ordre total sur \(\mathbb{R}\).) Vrai ou faux?

Si \(x\leqslant y\) et \(a\leqslant b\), alors \(\frac{x}{a}\leqslant \frac{y}{b}\).
Si \(0\lt a\lt b\), alors \(\frac{1}{b}\lt \frac{1}{a}\).
Si \(x\leqslant y\) et \(a\leqslant b\), alors \(ax\leqslant by\).
Si \(x\lt y+\varepsilon\) pour tout \(\varepsilon\gt 0\), alors \(x\lt y\).
Si \(x_k\leqslant a\) pour tout \(k=1,2,\dots,n\), alors \[ \max\{x_1,,\dots,x_n\}\leqslant a\,. \]

Quiz 1.3-2 : Vrai ou faux?

Il existe un nombre réel strictement positif plus petit que tous les autres.
Tout nombre réel possède un successeur immédiat.