Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

7.3 Le théorème des deux gendarmes

Le résultat suivant est l'analogue de celui vu précédemment pour les suites; il est utile pour calculer une limite \(x\to x_0\) en comparant \(f(x)\), proche de \(x_0\), à deux fonctions plus simples dont on sait calculer les limites. On formule le résultat pour la limite \(x\to x_0\), mais il peut aussi se formuler pour les limites latérales (section suivante).

Théorème: (Théorème des deux gendarmes) Soit \(f\) définie sur un voisinage \(V\) épointé de \(x_0\). Soient \(g,h\), également définies sur \(V\), telles que

\(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) pour tout \(x\in V\),
\(\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0} h(x)=L\).

Alors la limite de \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\) existe et vaut \(L\): \[\lim_{x\to x_0} f(x)=L\,.\]

Preuve:

Fixons \(\varepsilon\gt 0\).

Puisque \(\lim_{x\to x_0} g(x)=L\), il existe un \(\delta_1\gt 0\) tel que \(|g(x)-L|\leqslant \varepsilon\) dès que \(0\lt |x-x_0|\leqslant \delta\).
Puisque \(\lim_{x\to x_0} h(x)=L\), il existe un \(\delta_2\gt 0\) tel que \(|h(x)-L|\leqslant \varepsilon\) dès que \(0\lt |x-x_0|\leqslant \delta_2\).

Posons \(\delta:= \min\{\delta_1,\delta_2\}\). Si \(x\) est tel que \(0\lt |x-x_0|\leqslant \delta\), on a donc à la fois \(|g(x)-L|\leqslant \varepsilon\) et \(|h(x)-L|\leqslant \varepsilon\), ce qui donne \[ f(x)-L\leqslant h(x)-L\leqslant |h(x)-L|\leqslant\varepsilon\,, \] mais aussi \[ f(x)-L\geqslant g(x)-L\geqslant -|g(x)-L|\geqslant-\varepsilon\,. \] Et donc \(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon\).

Exemple: Considérons la fonction \[ f(x)= |x|\sin \left(\frac{1}{\sqrt{5|x|}}\right)\,, \] bien définie dans un voisinage épointé de \(x_0=0\). Pour calculer sa limite lorsque \(x\to 0\), on peut remarquer que \(-1\leqslant \sin(\cdots)\leqslant +1\), et donc pour tout \(x\neq 0\), \[\underbrace{-|x|}_{=g(x)}\leqslant f(x)\leqslant \underbrace{|x|}_{=h(x)}\] Comme \(\lim_{x\to 0 }g(x)=\lim_{x\to 0}h(x)=0\), le théorème des deux gendarmes implique que \(\lim_{x\to 0}f(x)=0\).

Quiz 7.3-1 : Soient \(f,g,h\) trois fonctions définies au voisinage de \(x_0\). Quelles affirmations sont toujours vraies?

Si \(f(x)\leqslant g(x)\) et \(f(x)\leqslant h(x)\) pour tout \(x\) dans un voisinage épointé de \(x_0\), et si \(\lim_{x\to x_0}g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=L\), alors \(\lim_{x\to x_0}f(x)=L\).
Si \(f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)\) pour tout \(x\) dans un voisinage épointé de \(x_0\), et si \(\lim_{x\to x_0}g(x)\) et \(\lim_{x\to x_0}h(x)\) existent, alors \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) existe.
Si \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) pour tout \(x\) dans un voisinage épointé de \(x_0\), si \(\lim_{x\to x_0}h(x)=L\) et que \(\lim_{x\to x_0}g(x)\) n'existe pas, alors \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) n'existe pas.