Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

2.3 Le plan complexe

Identifier \(\mathbb{C}\) avec le plan cartésien

Il est naturel de représenter un nombre complexe \(z=(x,y)=x+\mathsf{i} y\) à l'aide d'un point dans le plan cartésien, dont l'abscisse est \(x\) et l'ordonnée \(y\). On remarque alors que le module \(|z|\) n'est autre que la distance qui sépare \(z\) de l'origine, et que \(\overline{z}\) est obtenu en réfléchissant \(z\) à travers l'axe \(Ox\):

Les \(z\) purement réels se trouvent sur l'axe \(Ox\), que l'on nomme alors l'axe réel, alors que les \(z\) purement imaginaires se trouvent sur l'axe \(Oy\), que l'on nomme alors l'axe imaginaire. On parle alors du plan complexe.

Représentation polaire: module et argument

Mais il existe d'autres façons de repérer un point dans le plan. Par exemple, on peut associer à tout \(z\in \mathbb{C}\) sa distance à l'origine, donnée par son module \(|z|=r\), et considérer l'angle orienté \(\theta\) formé par \(z\) et l'axe réel:

Si \(z=x+\mathsf{i} y\), on a \[\begin{aligned} x=\mathrm{Re}(z)&=r\cos \theta\\ y=\mathrm{Im}(z)&=r\sin \theta\,. \end{aligned}\] On peut donc écrire \(z\) sous forme polaire: \[ \boxed{ z=r(\cos \theta+\mathsf{i} \sin \theta)\,. } \] On appelle \(\theta\) l'argument de \(z\), et on le note \(\theta=\mathrm{Arg }(z)\). Si \(z=x+\mathsf{i} y\), et \(x\neq 0\), son argument \(\theta\) satisfait \[ \tan\theta= \frac{y}{x}\,.\] Bien-sûr, \(\theta\) étant défini à un multiple entier de \(2\pi\) près (puisque sinus et cosinus sont \(2\pi\)-périodiques), il n'est pas unique. Lorsqu'on considère l'unique argument pour lequel \(\theta\in ]-\pi,\pi]\), on appelle \(\theta\) l'argument principal de \(z\) (comme celui de l'animation ci-dessus).

Remarque: Le seul complexe dont on ne définit pas l'argument est \(z=0\).

Exemple: Mettons \(z=2-2\sqrt{3}\mathsf{i}\) sous forme polaire, et calculons son argument principal. D'abord, \[r=|z|=\sqrt{4+12}=4\,,\] et donc \[ z=4\bigl(\tfrac12-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\mathsf{i}\bigr) \] Comme \(\frac12=\cos (-\frac{\pi}{3})\) et \(-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (-\frac{\pi}{3})\), l'argument principal de \(z\) est \(\theta=-\frac{\pi}{3}\). Sa forme polaire peut donc s'écrire \[z=4\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{3})+\mathsf{i} \sin (-\tfrac{\pi}{3})\bigr)\]

La représentation polaire des nombres complexes représente des avantages très importants par rapport à la représentation cartésienne. La principale raison est que l'argument possède quelques propriétés remarquables, que nous listons dans une proposition. (Comme l'argument n'est pas défini de manière unique, il faudrait rajouter partout ''modulo \(2\pi\)''.)

(Propriétés de l'argument)

\(\mathrm{Arg }(\overline{z})=-\mathrm{Arg }(z)\)
\(\mathrm{Arg }(zz')=\mathrm{Arg }(z)+\mathrm{Arg }(z')\)
\(\mathrm{Arg }(\frac{z}{z'})=\mathrm{Arg }(z)-\mathrm{Arg } (z')\)
\(\mathrm{Arg }(z^n)=n\mathrm{Arg }(z)\)

Suit de l'interprétation géométrique.
Si \(z=r(\cos \theta +\mathsf{i} \sin \theta)\) et \(z'=r'(\cos \theta' +\mathsf{i} \sin \theta')\), alors \[\begin{aligned} zz'&=rr'\bigl( (\underbrace{\cos \theta \cos \theta'-\sin\theta\sin\theta'}_{=\cos(\theta+\theta')}) +\mathsf{i}(\underbrace{\cos \theta\sin \theta'+\cos\theta'\sin \theta)}_{=\sin(\theta+\theta')})\\ &=rr'\bigl( \cos(\theta+\theta')+\mathsf{i} \sin (\theta+\theta') \bigr) \end{aligned}\] On a donc \(\mathrm{Arg }(zz')=\theta+\theta'=\mathrm{Arg }(z)+\mathrm{Arg }(z')\).
On calcule \[ \frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}\frac{\cos \theta +\mathsf{i} \sin \theta}{\cos \theta'+\mathsf{i} \sin \theta'} \] En multipliant et divisant par le conjugué \(\cos \theta'-\mathsf{i} \sin \theta'\), et en simplifiant un peu, \[\begin{aligned} \frac{z}{z'}&=\frac{r}{r'} \Bigl( \bigl( \cos \theta\cos\theta'+\sin\theta\sin\theta' \bigr) +\mathsf{i} \bigl( \sin \theta\cos\theta'-\sin\theta'\cos\theta \bigr)\Bigr)\\ &= \frac{r}{r'}\bigl( \cos(\theta-\theta')+\mathsf{i} \sin (\theta-\theta') \bigr)\,, \end{aligned}\] et donc \[ \mathrm{Arg }(\frac{z}{z'})= \theta-\theta'= \mathrm{Arg }(z)-\mathrm{Arg } (z') \]
Si \(n=1\) il n'y a rien à démontrer puisque \[\mathrm{Arg }(z^1)=1\cdot \mathrm{Arg }(z)\,.\] Supposons que la formule a été démontrée pour \(n\), c'est-à-dire supposons que \(\mathrm{Arg }(z^n)=n\mathrm{Arg }(z)\). On vérifie que la formule vaut aussi pour \(n+1\), en calculant \[\begin{aligned} \mathrm{Arg }(z^{n+1}) &=\mathrm{Arg }(z^nz)\\ &=\mathrm{Arg }(z^n)+\mathrm{Arg }(z)\\ &=n\mathrm{Arg }(z)+\mathrm{Arg }(z)=(n+1)\mathrm{Arg }(z)\,. \end{aligned}\]

Voyons les conséquences de ces propriétés. D'abord, on apprend quelque chose sur l'interprétation géométrique de la multiplication complexe:

Soit \(\omega\in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \(r\) et d'argument \(\theta\). Alors pour tout \(z\in \mathbb{C}\), le complexe \(\omega z\) est obtenu en faisant tourner \(z\) autour de l'origine, d'un angle de \(\theta=\mathrm{Arg }(\omega)\) (dans le sens anti-horaire), et en multipliant son module par \(r\).

En effet, \(\omega z\) a pour module \(|\omega z|=|\omega| |z|=r|z|\), et pour argument \[ \mathrm{Arg }(\omega z)=\mathrm{Arg }(\omega)+\mathrm{Arg }(z)=\mathrm{Arg }(z)+\theta\,. \]

En particulier, si \(|\omega|=1\), la multiplication de \(z\) par \(\omega\) revient à simplement faire tourner \(z\) d'un angle \(\theta=\mathrm{Arg }(\omega)\) (sur cette animation, on a représenté le cercle de rayon \(1\) en traitillé):

Si, plutôt que de multiplier \(z\) par un complexe \(\omega\), on le multiplie par lui-même, un nombre arbitraire de fois, on obtient la formule de Moivre:

Théorème:(Formule de Moivre) Si \(z=r(\cos \theta+\mathsf{i} \sin \theta)\), alors pour tout entier \(n\geqslant 2\), \[ z^n=r^n\bigl( \cos(n\theta)+\mathsf{i} \sin (n\theta) \bigr)\,. \]

Par la propriété \(\mathrm{Arg }(z^n)=n\mathrm{Arg }(z)\), utilisée pour le complexe \(\cos \theta+\mathsf{i} \sin \theta\): \[\begin{aligned} z^n &=\bigl(r(\cos \theta+\mathsf{i} \sin \theta)\bigr)^n\\ &=r^n\bigl(\cos \theta+\mathsf{i} \sin \theta \bigr)^n\\ &=r^n(\cos (n\theta)+\mathsf{i} \sin (n\theta))\,. \end{aligned}\]

Sur l'animation ci-dessous, on a représenté un complexe \(z\), ainsi que ses puissances \(z^n\), pour \(n=1,2,3,4,5,6\) (déplacer \(z\)!):

Cette animation permet de voir la formule de Moivre à l'oeuvre, ''à l'oeil nu''. En effet,

l'argument de \(z^n\) est égal à l'argument de \(z\) multiplié par \(n\), et
le module de \(z^n\) est égale au module de \(z\) élevé à la puissance \(n\). Par conséquent, si \(|z|\lt 1\) (\(z\) est à l'intérieur du cercle de rayon \(1\), représenté en traitillé), alors les puissances \(z^n\) sont plus proches de l'origine, et si \(|z|\gt 1\) (\(z\) est à l'extérieur de ce cercle), alors les puissances \(z^n\) sont plus éloignées de l'origine.)

Quiz 2.3-1 : Parmi les identités suivantes, lesquelles sont correctes?

\(\mathrm{Arg }(z+z')=\mathrm{Arg }(z)+\mathrm{Arg }(z')\) pour tous \(z,z'\in \mathbb{C}\)
\(\mathrm{Arg }(\lambda z)=\lambda \mathrm{Arg }(z)\) pour tous \(\lambda\in \mathbb{R}\), \(z\in \mathbb{C}\)
\(\mathrm{Arg }(z^{-1})=\mathrm{Arg }(\overline{z})\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}\)
\(|\mathrm{Arg }(z)|=\mathrm{Arg }(|z|)\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\)
\(|\mathrm{Arg }(z)|=\mathrm{Arg }(|z|)\) pour tout \(z\in \mathbb{R}\)

Quiz 2.3-2 : Parmi les identités suivantes, lesquelles sont correctes?

\(\overline{z}=z\) si et seulement \(z\in \mathbb{R}\)
\(\overline{z}=-z\) si et seulement si \(z\) est nul ou purement imaginaire
\(\overline{2+z}=2-\overline{z}\)
\(\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}\) pour tout \(z\neq 0\)
\(z^2\geqslant 0\) pour tout \(z\in \mathbb{C}\)
\(\overline{1+\overline{1+\overline{z}}}=2+\overline{z}\)
\((\mathsf{i}+1)(\mathsf{i}+2)(\mathsf{i}+3)=6-\mathsf{i}\)
\(1+2+3+\cdots+(z-1)+z=\frac{z(z+1)}{2}\)
\(1+z+z^2+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\) (lorsque \(z\neq 1\))
\(\frac{1+\overline{z}}{1-\overline{z}}=\frac{(1+\mathrm{Re}(z))^2-\mathrm{Im}(z)^2 -2(1+\mathrm{Re}(z))\mathrm{Im}(z)\mathsf{i}}{|1+\overline{z}|}\)
\(|z+z'|=|z|+|z'|\) pour tout \(z,z'\in \mathbb{C}\)
Si \(|\overline{z}|=|z|\), alors \(z\in \mathbb{R}\)

Maintenant que l'on a compris l'application ''mettre au carré dans le plan complexe'', \(z\mapsto z^2\), on peut comprendre facilement ce qu'est l'ensemble de Mandelbrot, en regardant par exemple la première moitié de cette vidéo: This fractal is more complex than the Mandelbrot set (Stand-up maths.