Soit \(P(z)\) un polynôme complexe en \(z\): \[ P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\dots+a_nz^n\,, \] où les coefficients \(a_k\in \mathbb{C}\). On dit que \(P\) est de degré \(n\) si \(a_n\neq 0\).
Si \(z_*\in \mathbb{C}\) est tel que
\[
P(z_*)=0\,,
\]
\(z_*\) est appelé racine du polynôme.
On sait que dans les réels, certains polynômes (comme par exemple
\(x^2+1\)) ne
possèdent pas de racines réelles.
Dans les complexes, c'est très différent:
Théorème: (Théorème Fondamental de l'Algèbre) Dans \(\mathbb{C}\), tout polynôme \(P\) de degré \(n\geqslant 1\) possède au moins une racine.
Nous ne donnerons pas la preuve complète de ce théorème, mais nous esquisserons un argument géométrique qui contient l'idée centrale de l'argument, sur un exemple. L'adaptation au cas général ne présente pas de difficulté supplémentaire (même si des notions un peu plus avancées sont nécessaires pour l'exprimer rigoureusement).
Considérons le polynôme suivant, de degré \(5\),
\[
P(z)=(2+\mathsf{i})+\mathsf{i} z+z^5\,.
\]
Ce polynôme contient un terme constant non-nul, \(2+\mathsf{i}\neq 0\), et il ne
possède pas de racine facilement ''devinable''. Pourtant, le Théorème
Fondamental dit qu'il doit posséder au moins une racine. Voyons comment on peut,
par un argument géométrique, se convaincre que c'est effectivement le cas.
Cherchons une racine \(z\) écrite en forme polaire,
\[
z=re^{\mathsf{i} \theta}\,.
\]
Nous allons balayer \(\mathbb{C}\) avec \(z\),
en passant des petites aux grandes valeurs du rayon \(r\geqslant 0\); pour chaque
valeur fixée de \(r\), on considère tous les arguments possibles \(\theta\in
[0,2\pi]\). Nous allons donc ''tester'' tous les points \(z\in \mathbb{C}\), en voyant
\(\mathbb{C}\) comme constitué d'une infinité de cercles centrés à l'origine.
Pour commencer, remarquons que si \(r=0\), alors \(z=0\), et l'image de ce point
par \(P\) est égale au terme constant:
\[
P(0)=2+\mathsf{i}\neq 0\,.
\]
Donc \(z=0\) n'est pas racine de ce polynôme, et on commence à augmenter le
rayon.
Pour un \(r\gt 0\) fixé, considérons
le cercle \(C_r\subset \mathbb{C}\) de rayon \(r\)
centré à l'origine (en rouge sur l'animation ci-dessous).
L'image de \(C_r\) par \(P\),
\[
P(C_r):=\{P(z)\,:\,z\in C_r\}\,,
\]
est une courbe fermée
dans \(\mathbb{C}\) que nous appellerons lacet (en bleu sur l'animation
ci-dessous).
Si le lacet \(P(C_r)\) touche l'origine,
c'est qu'il existe un \(z\in C_r\) tel que \(P(z)=0\).
Remarquons ensuite que
En augmentant \(r\) progressivement, il doit donc exister au moins une valeur \(r_*\gt 0\) pour laquelle \(P(C_{r_*})\) touche l'origine. Donc pour cette valeur \(r_*\), il existe un \(z_*\in C_{r_*}\) tel que \(P(z_*)=0\).
On comprend que la preuve du résultat général (pour un polynôme \(P\) quelconque) peut se faire en adaptant l'idée présentée ci-dessus. Le même argument est présenté dans The Fundamental Theorem of Algebra (Numberphile).
Lemme: Soit \(P(z)\) un polynôme de degré \(n\geqslant 1\), et soit \(z_0\in\mathbb{C}\) un complexe fixé. Alors il existe un unique polynôme \(Q(z)\), de degré \(n-1\), tel que \[ P(z)=(z-z_0)Q(z)+P(z_0)\qquad \forall z\in \mathbb{C}\,. \]
Supposons que \(P\) est de la forme \[ P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\dots+a_nz^n\,. \] Considérons les nombres \(b_0,b_1,\dots,b_{n-1}\) définis inductivement par \[\begin{aligned} b_{n-1}&:= a_n\\ b_{n-2}&:= z_0b_{n-1}+a_{n-1}\\ \vdots&\\ b_1&:= z_0b_2+a_2\\ b_0&:= z_0b_1+a_1\,, \end{aligned}\] et définissons \[ Q(z):= b_0+b_1z+b_2z^2+\dots+b_{n-1}z^{n-1}\,. \] Remarquons que si on développe le produit \((z-z_0)Q(z)\) et qu'on regroupe les puissances de \(z\), on obtient: \[\begin{aligned} (z-z_0)Q(z)=&-z_0b_0\\ &+\underbrace{(b_0-z_0b_1)}_{=a_1}z\\ &+\underbrace{(b_1-z_0b_2)}_{=a_2}z^2\\ &+\cdots\\ &+\underbrace{(b_{n-2}-z_0b_{n-1})}_{=a_{n-1}}z^{n-1}\\ &+\underbrace{b_{n-1}}_{=a_n}z^n\\ &=-z_0b_0+(P(z)-a_0)\,, \end{aligned}\] c'est-à-dire \[ (z-z_0)Q(z)+z_0b_0+a_0=P(z)\,. \] En évaluant cette identité en \(z=z_0\), on obtient \(z_0b_0+a_0=P(z_0)\), et donc \[ (z-z_0)Q(z)+P(z_0)=P(z)\,. \]
Ce résultat implique que si \(z_0\) est une racine de \(P\), alors \(P\) peut se factoriser en un produit: \[P(z)=(z-z_0)Q(z)\,,\] où \(Q\) est la division de \(P\) par \(z-z_0\); on peut obtenir \(Q\) par division Euclidienne, ou alors à l'aide de la formule de récurrence pour ses coefficients, vue dans la preuve du lemme (on appel cette relation un Schéma de Hörner).
On peut maintenant énoncer une version un peu plus forte du Théorème Fondamental:
Théorème: Dans \(\mathbb{C}\), tout polynôme \(P\) de degré \(n\geqslant 1\) possède \(n\) racines: il existe \(z_1,\dots,z_n\in \mathbb{C}\) tels que \[ P(z_k)=0\qquad \forall k=1,2,\dots,n\,. \] De plus, \(P\) peut se factoriser comme suit: \[ P(z)=a_n(z-z_1)\cdots (z-z_n)\,. \]
Soit \(P\) un polynôme de degré \(n\). Alors le Théorème Fondamental et le lemme du dessus garantissent qu'il existe \(z_1\in\mathbb{C}\) et un polynôme \(Q(z)\), de degré \(n-1\), tel que \(P(z)=(z-z_1)Q(z)\). On peut ensuite répéter l'argument avec \(Q\): il existe \(z_2\in\mathbb{C}\) et un polynôme \(Q'(z)\), de degré \(n-2\), tel que \(Q(z)=(z-z_2)Q'(z)\), etc. Le procédé se termine lorsque \(P\) s'est exprimé comme un produit \[ P(z)=C(z-z_1)(z-z_2)\cdots (z-z_n)\,, \] où \(C\in\mathbb{C}\) est une constante. Puisque le terme de plus haut degré associé à ce produit est \(Cz^n\), on en déduit que \(C=a_n\).
Si le Théorème Fondamental et le lemme du dessus nous ont montré que tout polynôme de degré \(n\) peut se factoriser en produit de \(n\) facteurs, trouver ces facteurs n'est pas un exercice simple en général. Nous verrons quelques exemples dans la section suivante.
Dernière compilation: 2025-09-16 (07:01:29)
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