Considérons la suite $(x_n{)}_{n⩾0}$ définie par $$x_n=\sin (n\frac{\pi }{4}).$$ On comprend cette suite en plaçant l’angle $n\frac{\pi }{4}$ sur le cercle trigonométrique et en regardant son sinus évoluer sur l’axe $Oy$. Ses premiers termes, en partant de $n=0$, sont $$0,\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2},-1,-\frac{\sqrt{2}}{2},0.$$

• Si on considère les indices pairs, à savoir $n_k=2k$,
  
  alors $(x_{n_k}{)}_{k⩾0}$ est la suite $0,1,0,-1,0,1,0,-1,\dots$
• Si on considère les entiers multiples de $4$, $n_k=4k$,
  
  alors $(x_{n_k}{)}_{k⩾0}$ est une suite constante puisque $x_{n_k}=x_{4k}=\sin (k\pi )=0$ pour tout $k$.

Ces deux exemples ont proposé des sous-suites le long desquelles on observait une certaine régularité, mais on peut considérer des sous-suites arbitraires, par exemple celle obtenue en prenant $n_k=k^2+[\sqrt{k}]$, pour lesquelles on n’observe en général aucune régularité particulière.

La suite $x_n=(-1{)}^n$ possède les points d’accumulation

• $a=+1$ puisque $x_{2n}\to +1$,
• $a=-1$ puisque $x_{2n+1}\to -1$.

Remarquons qu’il n’y a pas d’autres points d’accumulation: $\mathcal{A}=\{-1,+1\}$.

Dans l’exemple vu plus haut, $x_n=\sin (n\frac{\pi }{4})$, on a les points d’accumulation suivants:

• $a=0$, puisque $x_{4n}=0\to 0$,
• $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, puisque $x_{8n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\to \frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, puisque $x_{8n-1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\to -\frac{\sqrt{2}}{2}$,
• $a=1$, puisque $x_{8n+2}=1\to 1$,
• $a=-1$, puisque $x_{8n-2}=-1\to -1$ .

Ici, $\mathcal{A}=\{-1,\frac{\sqrt{2}}{2},0,+\frac{\sqrt{2}}{2},1\}$.