Considérons la suite $x_{n+1}=g(x_n)$, avec condition initiale $x_0=4$, et $g(x)=2-\frac{1}{x}$, c’est-à-dire $$x_{n+1}=g(x_n)=2-\frac{1}{x_n}.$$ Cherchons les points fixes de $g$: $$2-\frac{1}{x_{\ast }}=x_{\ast }\iff (x_{\ast }-1{)}^2=0.$$ Donc $x_{\ast }=1$ est l’unique point fixe de $g$, et c’est a priori un candidat pour la limite. Puisque notre condition initiale est $x_0=4>1$, on peut essayer de voir si la suite décroît. C’est effectivement ce qu’indiquent les premières valeurs: $$\begin{array}{rl}{x}_0& =4\\ x_1& =2-\frac{1}{x_0}=2-\frac{1}{4}=1.75\\ x_2& =2-\frac{1}{x_1}=2-\frac{1}{1.75}=1.428\dots \\ x_3& =2-\frac{1}{x_2}=2-\frac{1}{1.428\dots }=1.3\\ x_4& =2-\frac{1}{x_3}=2-\frac{1}{1.3\dots }=1.230\dots \\ ⋮& \end{array}$$ On a donc un scénario qui semble raisonnable: montrer rigoureusement que la suite converge, puis que sa limite vaut $x_{\ast }=1$.
Montrons d’abord que la suite est minorée par $1$. Pour la condition initiale, on a $x_0=4>1$. Ensuite, si on suppose que $x_n>1$, alors $$x_{n+1}=2-\frac{1}{x_n}>2-\frac{1}{1}=1.$$ Ceci montre en particulier que $x_n$ est toujours bien définie.
Ensuite, en calculant $$\begin{array}{rl}{x}_{n+1}-x_n& =2-\frac{1}{x_n}-x_n\\ & =\frac{2x_n-1-x_n^2}{x_n}\\ & =\frac{-(x_n-1{)}^2}{x_n}⩽0,\end{array}$$ (on a utilisé le fait que $x_n>1>0$) on voit que $(x_n)$ est décroissante.
Étant minorée et décroissante, la suite converge: $$L=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n.$$ Puisque toute la suite évolue sur le domaine $]0,+\infty [$, sur lequel $g$ est continue, on en déduit par le théorème du dessus que $L$ ne peut être qu’un point fixe de $g$; comme il n’y en a qu’un, $x_{\ast }=1$, on en déduit que $L=1$.

Considérons une suite $(x_n)$ pour laquelle $$x_{n+1}=x_n^2+3.$$ Ici, puisque $g(x)=x^2+3$ est continue et n’a pas de point fixe (car l’équation $g(x)=x$ n’a pas de solutions), on en déduit que $x_n$ ne peut pas converger, quelle que soit la condition initiale choisie.