Un exemple fameux est celui de la suite logistique, associée à la fonction $g(x)=rx(1-x)$, où $r>0$ est un paramètre fixé: $$x_{n+1}=r{x}_n(1-x_n)$$ Ici, $x_n$ modélise la taille d’une population à sa $n$-ème génération.
Le comportement de cette suite, dans la limite $n\to \infty$, dépend fortement de la valeur du paramètre $r$. Pour des petites valeurs de $r$, on peut montrer (voir exercices) que $x_n\to 0$, quelle que soit la condition initiale $x_0\in [0,1]$. Par contre, pour des grandes valeurs de $r$, le comportement de $x_n$ devient plus compliqué. Pour des valeurs $r>3.8$, le comportement de la suite devient chaotique. (Voir l’animation à la fin du chapitre.) Source: Wikipedia: Logistic map

Soit $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ définie par $$g(x):=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}& \text{ si x est pair},\\ 3x+1& \text{ si x impair.}\end{array}$$ En choisissant une condition initiale $x_0\in \mathbb{N}$, la suite $(x_n{)}_{n⩾0}$ est une suite de nombres entiers, et est construite en commençant avec $x_0$, puis en définissant $$x_{n+1}:=g(x_n).$$ La compréhension du comportement de cette suite dans la limite $n\to \infty$ est un des grands problèmes ouverts “fameux” des mathématiques.
On remarque, en essayant plusieurs conditions initiales, que la suite termine sur la boucle “$4,2,1$”. Par exemple, en prenant $x_0=3$, la suite est $$3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,\dots$$ En prenant $x_0=12$, $$12,6,3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,\dots$$ La Conjecture de Collatz affirme que la suite termine toujours par la boucle “$4,2,1$”, quelle que soit la condition initiale. Voir Veritasium: The simplest math problem no one can solve