Puisque les autres cas ont déjà été traités, considérons $p\in ]1,2[$ (même si l’argument ci-dessous fonctionne pour tout $p>1$). Comme $s_n=1+\frac{1}{2^p}+\cdots +\frac{1}{n^p}$ est monotone croissante, il suffit de montrer qu’elle est majorée pour en déduire qu’elle converge. Et pour montrer qu’elle est majorée, il suffit de montrer qu’une sous-suite quelconque est majorée (exercice). Pour ce faire, on considère la sous-suite $s_{2^k-1}$. L’idée va être de majorer cette suite, en la comparant à la somme partielle d’une série géométrique convergente.

Pour $k=1$, on a $$s_{2^1-1}=\frac{1}{1^p}=1.$$ Pour $k=2$, on peut majorer $$\begin{array}{rl}{s}_{2^2-1}& =\frac{1}{1^p}+\underset{⩽2\frac{1}{2^p}}{\underbrace{\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}}}\\ & ⩽1+\left(\frac{2}{2^p}\right).\end{array}$$ Pour $k=3$, $$\begin{array}{rl}{s}_{2^3-1}& =\frac{1}{1^p}+\underset{⩽2\frac{1}{2^p}}{\underbrace{\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}}}+\underset{⩽4\frac{1}{4^p}}{\underbrace{\frac{1}{4^p}+\cdots +\frac{1}{7^p}}}\\ & ⩽1+\left(\frac{2}{2^p}\right)+(\frac{2}{2^p}{)}^2.\end{array}$$ Pour $k=4$, $$\begin{array}{rl}{s}_{2^4-1}& =\frac{1}{1^p}+\underset{⩽2\frac{1}{2^p}}{\underbrace{\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}}}+\underset{⩽4\frac{1}{4^p}}{\underbrace{\frac{1}{4^p}+\cdots +\frac{1}{7^p}}}+\underset{⩽8\frac{1}{8^p}}{\underbrace{\frac{1}{8^p}+\cdots +\frac{1}{15^p}}}\\ & ⩽1+\left(\frac{2}{2^p}\right)+(\frac{2}{2^p}{)}^2+(\frac{2}{2^p}{)}^3\end{array}$$ Comme $p>1$, on a $\frac{2}{2^p}<1$, et donc pour tout $k$, $$\begin{array}{rl}{s}_{2^k-1}& ⩽1+\left(\frac{2}{2^p}\right)+(\frac{2}{2^p}{)}^2+(\frac{2}{2^p}{)}^3+\cdots +(\frac{2}{2^p}{)}^{k-1}\\ & <1+\left(\frac{2}{2^p}\right)+(\frac{2}{2^p}{)}^2+(\frac{2}{2^p}{)}^3+\cdots +(\frac{2}{2^p}{)}^{k-1}+\underset{\text{le reste de la seˊrie}}{\underbrace{\cdots }}\\ & =\frac{1}{1-\frac{2}{2^p}}<\infty .\end{array}$$