11.1 Introduction — Analyse I / FLIPPED

Supposons qu’une fonction

f

possède des développements limités en

x_{0}

, de tous les ordres:

f (x) f (x) f (x) ⋮ f (x) ⋮ = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + R_{1} (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + R_{2} (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + a_{3} (x - x_{0})^{3} + R_{3} (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)

Que se passe-t-il si on prend

n \to \infty

Remarquons qu’au-dessus, on a fait attention de nommer le reste différemment en fonction de l’ordre du

D L

.
Puisqu’un développement limité d’ordre de plus en plus grand implique une approximation de

f (x)

toujours meilleure, on s’attend à ce que la limite “

n \to \infty

” mène à une reconstruction exacte de

f (x)

, dans laquelle il n’y a plus d’approximation.
Décrivons plus précisément ce processus de limite. Fixons un point

x

dans le voisinage de

x_{0}

D’abord, à mesure que $n$ devient plus grand, le polynôme de la partie principale contient toujours plus de termes. Dans la limite $n \to \infty$ il devient une série de puissances (un “polynôme de degré infini”):
$a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots = k = 0 \sum \infty a_{k} (x - x_{0})^{k},$
et pour que cette série fasse du sens, il faut pouvoir montrer qu’elle converge pour le $x$ qu’on a fixé.
Ensuite, afin de garantir que cette série décrit exactement la fonction, il faut s’assurer que la suite de restes, au point $x$ qu’on a fixé, tend vers zéro:
$R_{n} (x) \to 0 lorsque n \to \infty$
(Attention: ici $x$ est fixé, c’est $n$ qui tend vers l’infini!)

Si on peut vérifier ces deux conditions, cela signifie que la valeur de

f

x

peut se calculer à l’aide de la série:

f (x) = k = 0 \sum \infty a_{k} (x - x_{0})^{k} .

On verra plus tard que ce programme est possible, sous certaines hypothèses.
Mais avant cela, nous allons introduire et étudier plus systématiquement les séries de puissance du type ci-dessus.