5.2 Propriétés des séries convergentes

5.2.1 Le terme général tend vers zéro

Intuitivement, il est clair que pour pouvoir sommer une infinité de nombres

a_{n}

, il faut que ceux-ci deviennent toujours plus petits à mesure que

n

devient grand:

Lemme 5.1.

\sum_{n} a_{n}

converge, alors

a_{n} \to 0

Comme corollaire du lemme ci-dessus, on a un résultat pratique: si le terme général d’une série ne tend pas vers zéro, alors cette série diverge.

Exemple 5.6.

La série

n ⩾ 1 \sum \frac{1 + 3 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}}

diverge. En effet, son terme général ne tend pas vers zéro puisque

n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim \frac{1 + 3 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}} = n \to \infty lim \frac{3 ^{n} ( 1 + 3 ^{- n} )}{3 ^{n} ( 1 + ( \frac{23}{)} ^{n} )} = n \to \infty lim \frac{1 + 3 ^{- n}}{1 + ( \frac{23}{)} ^{n}} = 1 .

Informel 5.3.Attention: il ne suffit pas que $a_{n} \to 0$ pour que $\sum_{n} a_{n}$ converge! Par exemple, la série harmonique a son terme général qui tend vers zéro,

a_{n} = \frac{1}{n} \to 0

; mais elle diverge.
Donc pour qu’une série converge, son terme général doit faire plus que juste “tendre vers zéro”: il doit tendre vers zéro suffisamment vite.

5.2.2 Converger: une propriété asymptotique

La deuxième qualité importante peut être formulée en disant que la convergence/divergence d’une série est un propriété qui ne dépend pasd’un nombre fini de ses termes. En effet, si une série converge (resp. diverge), alors on peut modifier un nombre arbitraire (mais fini) de termes,elle continuera à converger (resp. diverger).

Exemple 5.7.

On sait que la série harmonique

\sum_{n} \frac{1}{n}

diverge, et que la série

\sum_{n} \frac{1}{n ^{2}}

converge. Fixons un entier

N_{0}

, arbitrairement grand.

Si on définit
$a_{n} := {0 \frac{1}{n} si n < N_{0}, si n ⩾ N_{0},$
alors $\sum_{n} a_{n}$ diverge.
Si on définit
$b_{n} := {\frac{1}{n} \frac{1}{n ^{2}} si n < N_{0}, si n ⩾ N_{0},$
alors $\sum_{n} b_{n}$ converge.

5.2.3 Sommes et multiplication par un scalaire

Finalement, donnons deux propriétés simples utilisées constamment dans la manipulation des séries convergentes:

Proposition 5.1.

Soient

n \sum a_{n}

n \sum b_{n}

des séries convergentes.

$n \sum (a_{n} + b_{n})$ est convergente, et $n \sum (a_{n} + b_{n}) = n \sum a_{n} + n \sum b_{n}$
Pour toute constante $λ \in R$ , $n \sum λ a_{n}$ est convergente, et $n \sum λ a_{n} = λ n \sum a_{n}$

En particulier, pour toutes constantes

α, β \in R

n \sum (α a_{n} + β b_{n}) = α n \sum a_{n} + β n \sum b_{n}

Proof

Pour des suites

(a_{n})_{n ⩾ 0}

(b_{n})_{n ⩾ 0}

, considérons les sommes partielles associées, notées respectivement

(s_{n})_{n ⩾ 0}

(s_{n}^{'})_{n ⩾ 0}

. On a donc, par hypothèse, existence des limites

n \to \infty lim s_{n} n \to \infty lim s_{n}^{'} = k ⩾ 0 \sum a_{k} = k ⩾ 0 \sum b_{k} .

Soit

(s_{n}^{''})_{n ⩾ 0}

la suite des sommes partielles associées à la suite

(a_{n} + b_{n})_{n ⩾ 0}

. Pour tout

n

s_{n}^{''} = k = 0 \sum n (a_{k} + b_{k}) = s_{n} + s_{n}^{'} .

(On a fait une opération autorisée puisque les deux sommes sont finies!) Étant la somme de deux suites convergentes,

s_{n}^{''}

est également convergente, et de plus sa somme est

k ⩾ 0 \sum (a_{k} + b_{k}) = n \to \infty lim s_{n}^{''} = n \to \infty lim (s_{n} + s_{n}^{'}) = = n \to \infty lim s_{n} + n \to \infty lim s_{n}^{'} = k ⩾ 0 \sum a_{k} + k ⩾ 0 \sum b_{k} .

L’autre propriété se démontre de la même façon.

□

Exemple 5.8.

Dans

n ⩾ 0 \sum (\frac{3}{2 ^{n}} + \frac{5 ( - 2 ) ^{n}}{7 ^{n}})

, on reconnaît deux séries géométriques,

n ⩾ 0 \sum \frac{1}{2 ^{n}}

n ⩾ 0 \sum \frac{( - 2 ) ^{n}}{7 ^{n}}

, toutes deux convergentes puisque de raisons

∣ r ∣ < 1

. On peut donc utiliser la proposition, et en déduire que notre série de départ converge. De plus, sa somme vaut

Quiz 5.2.2.Vrai ou faux?

Quiz 5.2.3.Si

a_{n} > 0

pour tout

n ⩾ 0

, et si

\sum_{n ⩾ 0} a_{n}

converge et que sa somme vaut

s = 3

, alors