5.10 Le critère de Cauchy — Analyse I / FLIPPED

Théorème 5.8.

Soit

(a_{n})

une suite réelle, telle que la limite

σ := n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣

est soit finie, soit

+ \infty

Exemple 5.24.

La série

n ⩾ 1 \sum (1 - \frac{1}{n})^{n^{2}}

converge, puisque

σ = n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣ = n \to \infty lim (1 - \frac{1}{n})^{n} = n \to \infty lim (\frac{n - 1}{n})^{n} = n \to \infty lim (\frac{n - 1}{( n - 1 ) + 1})^{n} = n \to \infty lim (\frac{1}{1 + \frac{1}{n - 1}})^{n} = n \to \infty lim \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n - 1} ) ^{n - 1}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n - 1}} = \frac{1}{e} \cdot 1 < 1 .

Le critère de Cauchy existe en fait dans une forme un peu plus forte, dans laquelle la définition de

σ

est légèrement différente:

σ := n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣,

mais où la conclusion est la même: si

σ < 1

alors la série converge absolument, et si

σ > 1

alors la série diverge.
L’avantage de cette deuxième version est que l’on peut étudier certaines séries pour lesquelles la limite qui définit

σ

dans la première définition n’existe pas, alors qu’elle possède une limite supérieure.

Exemple 5.25.

Considérons la série

n ⩾ 0 \sum (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} (- 1)^{n})^{n} .

Remarquons qu’ici,

n ∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (- 1)^{n},

qui n’a pas de limite lorsque

n \to \infty

. Pourtant,

n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} < 1,

et donc par la nouvelle version du critère, la série converge.
Remarquons qu’on aurait aussi simplement pu écrire

∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (- 1)^{n}^{n} ⩽ (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^{n} = (\frac{3}{4})^{n} .

Ainsi, par comparaison avec la série géométrique de raison

r = \frac{3}{4}

, on conclut que

\sum_{n} a_{n}

converge absolument.

Quiz 5.10.1.Vrai ou faux?