La série harmonique alternée est définie par $$\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$$ Elle s’obtient simplement en changeant le signe de tous les indices pairs de la série harmonique. Comme on peut écrire cette série sous la forme $$\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=-\sum _{n⩾1}(-1{)}^n{x}_n,$$ où $x_n=\frac{1}{n}$ est positif, décroissant, et tend vers zéro, on conclut par le théorème du dessus qu’elle converge. (On verra plus tard que sa somme vaut $\log (2)$).

Considérons la série $$\sum _{n⩾0}\frac{\sin (n\frac{\pi }{2})}{n+1}$$ Puisque $\sin (n\frac{\pi }{2})=0$ dès que $n$ est pair, cette série est en fait $$\sum _{n⩾0}\frac{\sin (n\frac{\pi }{2})}{n+1}=\sum _{k⩾0}\frac{\sin ((2k+1)\frac{\pi }{2})}{2k+2}$$ Mais maintenant, $\sin ((2k+1)\frac{\pi }{2})=(-1{)}^k$, et donc $$\sum _{n⩾0}\frac{\sin (n\frac{\pi }{2})}{n+1}=\sum _{k⩾0}\frac{(-1{)}^k}{2k+2}$$ Puisque $x_k:=\frac{1}{2k+2}$ est positif, décroissant, et tend vers zéro, cette série converge.