5.8 Séries absolument convergentes

Définition 5.3.

n \sum ∣ a_{n} ∣

converge, on dit que

n \sum a_{n}

est absolument convergente.

Exemple 5.19.

La série

n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}

est convergente (car c’est une série alternée satisfaisant au critère de Leibniz), mais elle est aussi absolument convergente, car

n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{2}},

qui est convergente (

p = 2 > 1

). Donc l’alternance de signes, dans la série de départ, n’est pas essentielle pour garantir sa convergence.

Exemple 5.20.

La série harmonique alternée est convergente, comme on sait, mais elle n’est pas absolument convergente, car en prenant la valeur absolue de chacun de ses termes on obtient

n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} = n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n},

la série harmonique, qui est divergente. Donc la série harmonique alternée a “besoin” de l’alternance de ses signes pour pouvoir converger.

Ce dernier exemple montre qu’une série peut être convergente sans être absolument convergente. D’autre part, on a le résultat important suivant, qui montre que la notion de convergence absolue est plus forte que celle de convergence:

Théorème 5.6.

n \sum a_{n}

converge absolument, alors elle converge.

Donc l’ensemble des séries absolument convergentes forme un sous-ensemble de l’ensemble des séries convergentes:

Proof

Définissons

s_{n} \overline{s}_{n} := a_{1} + \dots + a_{n} := ∣ a_{1} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ .

Comme

\sum_{n} a_{n}

est absolument convergente, la suite

\overline{s}_{n}

converge, ce qui implique que c’est aussi une suite de Cauchy.Or pour tout

n ⩾ m

, par l’inégalité triangulaire,

∣ s_{n} - s_{m} ∣ = a_{m + 1} + \dots + a_{n} ⩽ ∣ a_{m + 1} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ = \overline{s}_{n} - \overline{s}_{m} = ∣ \overline{s}_{n} - \overline{s}_{m} ∣ .

(Dans la dernière ligne, on a utilisé le fait que

\overline{s}_{n}

est croissante.) Fixons

ε > 0

. Comme

(\overline{s}_{n})

est une suite de Cauchy, il existe

N

tel que

∣ \overline{s}_{n} - \overline{s}_{m} ∣ ⩽ ε

pour tous

n, m ⩾ N

. Par l’inégalité ci-dessus, ceci implique que

∣ s_{n} - s_{m} ∣ ⩽ ε

pour tout

m, n ⩾ N

. On a donc montré que

(s_{n})

est une suite de Cauchy, et donc elle converge:

\sum_{n} a_{n}

est convergente.

□

Le théorème peut parfois être utile pour l’étude de la convergence (habituelle) d’une série:

Exemple 5.21.

Étudions la convergence de la série

n ⩾ 0 \sum \frac{3 sin ( n ) - 5 cos ( n ^{2} )}{2 ^{n} + n} .

Le numérateur contient des parties oscillantes qui compliquent l’étude de la convergence. Pourtant, on peut majorer sa valeur absolue,

∣3 sin (n) - 5 cos (n^{2}) ∣ ⩽ 3 + 5 = 8,

et obtenir

0 ⩽ ∣ a_{n} ∣ = \frac{3 sin ( n ) - 5 cos ( n ^{2} )}{2 ^{n} + n} ⩽ \frac{8}{2 ^{n}} =: b_{n} .

Comme

\sum_{n} b_{n} = 8 \sum_{n} \frac{1}{2 ^{n}}

converge (série géométrique de raison

r = \frac{1}{2}

), le critère de comparaison implique que

\sum_{n} ∣ a_{n} ∣

converge. Donc

\sum_{n} a_{n}

converge absolument, et par le théorème ci-dessus, ceci implique que

\sum_{n} a_{n}

converge.

Dans les deux prochaines sections, nous verrons deux critères très utiles qui garantissent la convergence absolue (et donc la convergence) d’une série.

Quiz 5.8.1.Vrai ou faux?