12.7 Intégration: par parties — Analyse I / FLIPPED

Puisque la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées, il est clair que la primitive d’un produit n’est pas non plus le produit des primitives...

\int f (x) g (x) d x \neq = (\int f (x) d x) (\int g (x) d x) .

Pourtant, si

f

(ou

g

) est elle-même une dérivée, on peut transformer

\int f (x) g (x) d x

en une autre primitive.

Lemme 12.4.

(Formule d’intégration par parties) Soient

f, g

deux fonctions de classe

C^{1}

sur un intervalle. Alors

\int f^{'} (x) g (x) d x = f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x) d x .

En version “intégrale définie”:

\int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x = f (x) g (x)_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x .

Informel 12.5.Pour utiliser la formule d’intégration par parties dans l’intégration d’un produit, il faut choisir quelle partie joue le rôle de “

f^{'} (x)

” (la partie que l’on doit savoir intégrer), et quelle partie joue le rôle de “

g (x)

” (la partie que l’on doit dériver). On utilisera le symbole “

↑

” pour indiquer la partie qui sera intégrée, et “

↓

” pour celle qui sera dérivée:

\int ↑ f^{'} (x) ↓ g (x) d x = f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x) d x .

Voyons quelques exemples.

Exemple 12.16.

\int ↑ x ↓ lo g (x) d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g (x) - \int \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g (x) - \int \frac{x}{2} d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g (x) - \frac{x ^{2}}{4} + C

Parfois, il peut être nécessaire d’utiliser l’intégration par parties plus d’une fois:

Exemple 12.17.

I (x) = \int ↑ e^{x} ↓ sin (x) d x = e^{x} sin (x) - \int ↑ e^{x} ↓ cos (x) d x = e^{x} sin (x) - {e^{x} cos (x) - \int e^{x} (- sin (x)) d x} = e^{x} {sin (x) - cos (x)} - I (x) .

Donc

I (x) = \frac{e ^{x}}{2} (sin (x) - cos (x)) + C .

L’intégration par parties peut aussi être utile dans les cas où on n’a même pas deux “parties”, simplement en écrivant que

1 = (x)^{'}

Exemple 12.18.

\int lo g (x) d x = \int ↑ 1 \cdot ↓ lo g (x) d x = x lo g (x) - \int x \frac{1}{x} d x = x lo g (x) - x + C .

Quiz 12.7.1.Vrai ou faux?