7.3 Le théorème des deux gendarmes

Le résultat suivant est l’analogue de celui vu précédemment pour les suites; il est utile pour calculer une limite

x \to x_{0}

en comparant

f (x)

, proche de

x_{0}

, à deux fonctions plus simples dont on sait calculer les limites. On formule le résultat pour la limite

x \to x_{0}

, mais il peut aussi se formuler pour les limites latérales (section suivante).

Théorème 7.1.

(Théorème des deux gendarmes) Soit

f

définie sur un voisinage

V

épointé de

x_{0}

. Soient

g, h

, également définies sur

V

, telles que

Alors la limite de

f

lorsque

x

tend vers

x_{0}

existe et vaut

L

x \to x_{0} lim f (x) = L .

Proof

Fixons

ε > 0

Puisque $lim_{x \to x_{0}} g (x) = L$ , il existe un $δ_{1} > 0$ tel que $∣ g (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ$ .
Puisque $lim_{x \to x_{0}} h (x) = L$ , il existe un $δ_{2} > 0$ tel que $∣ h (x) - L ∣ ⩽ ε$ dès que $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ_{2}$ .

Posons

δ := min {δ_{1}, δ_{2}}

. Si

x

est tel que

0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ

, on a donc à la fois

∣ g (x) - L ∣ ⩽ ε

∣ h (x) - L ∣ ⩽ ε

, ce qui donne

f (x) - L ⩽ h (x) - L ⩽ ∣ h (x) - L ∣ ⩽ ε,

mais aussi

f (x) - L ⩾ g (x) - L ⩾ - ∣ g (x) - L ∣ ⩾ - ε .

Et donc

∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε

□

Exemple 7.6.

Considérons la fonction

f (x) = ∣ x ∣ sin (\frac{1}{5∣ x ∣}),

bien définie dans un voisinage épointé de

x_{0} = 0

.Pour calculer sa limite lorsque

x \to 0

, on peut remarquer que

- 1 ⩽ sin (\dots) ⩽ + 1

, et donc pour tout

x \neq = 0

= g (x) - ∣ x ∣ ⩽ f (x) ⩽ = h (x) ∣ x ∣

Comme

lim_{x \to 0} g (x) = lim_{x \to 0} h (x) = 0

, le théorème des deux gendarmes implique que

lim_{x \to 0} f (x) = 0

Quiz 7.3.1.Soient

f, g, h

trois fonctions définies au voisinage de

x_{0}

. Quelles affirmations sont toujours vraies?