L’idée est de construire deux suites convergentes $(a_n{)}_{n⩾0}$ et $(b_n{)}_{n⩾0}$. Celles-ci sont construites par récurrence:

1. Posons $a_0:=a$, $b_0:=b$. Par définition, $f(a_0)<h<f(b_0)$.
2. Pour $n⩾0$, supposons que $a_n$ et $b_n$ ont déjà été définis, et que $f(a_n)⩽h⩽f(b_n)$. Considérons alors le point milieu de $a_n$ et $b_n$:
   $$c_n:=\frac{a_n+b_n}{2}.$$
   • Si $f(c_n)⩽h$, on pose $a_{n+1}:=c_n$, $b_{n+1}:=b_n$.
   • Si $f(c_n)>h$, on pose $a_{n+1}:=a_n$, $b_{n+1}:=c_n$. Par définition de $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$, $f(a_{n+1})⩽h⩽f(b_{n+1})$.

Maintenant que les suites $(a_n{)}_{n⩾0}$ et $(b_n{)}_{n⩾0}$ ont été construites, regardons-les de plus près:

• À chaque étape de l’algorithme ci-dessus, $a_{n+1}$ est soit $a_n$, soit $c_n$. Comme $c_n>a_n$, ceci implique que dans tous les cas, $a_{n+1}⩾a_n$. De plus, chaque $a_n$ est inférieur à $b$. Par conséquent, $(a_n{)}_{n⩾0}$ est croissante et majorée, donc elle converge: notons sa limite$$c_{-}:=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n.$$
• À chaque étape de l’algorithme ci-dessus, $b_{n+1}$ est soit $b_n$, soit $c_n$. Comme $c_n<b_n$, ceci implique que dans tous les cas, $b_{n+1}⩽b_n$. De plus, chaque $b_n$ est supérieur à $a$. Par conséquent, $(b_n{)}_{n⩾0}$ est décroissante et minorée, donc elle converge: notons sa limite$$c_{+}:=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n.$$
• Comme à chaque étape exactement un des points devient le point milieu, on a
  $$|a_{n+1}-b_{n+1}|=\frac{1}{2}|a_n-b_n|=\cdots =\frac{1}{2^{n+1}}|a-b|\to 0.$$
  Par l’inégalité triangulaire, on a donc que
  $$|c_{-}-c_{+}|⩽|c_{-}-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-c_{+}|\to 0,$$
  ce qui implique que $c_{-}=c_{+}$, que l’on peut donc écrire simplement $c$.

On utilise maintenant de manière essentielle la continuité de $f$:

1. D’une part, comme $a_n\to c_{-}$ et $f(a_n)⩽h$ pour tout $n$, on a que$$f(c)=f(c_{-})=\underset{n\to \infty }{\lim }f(a_n)⩽h.$$
2. D’autre part, comme $b_n\to c_{+}$ et $f(b_n)⩾h$ pour tout $n$, on a que$$f(c)=f(c_{+})=\underset{n\to \infty }{\lim }f(b_n)⩾h.$$

Ceci implique bien que $f(c)=h$.

Considérons un polynôme de degré impair, à coefficients réels: $$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots a_n{x}^n$$ où $n$ est impair, et $a_n\ne 0$. Rappelons que ce polynôme est une fonction continue de la variable $x$.

Sans perte de généralité, supposons que $a_n>0$. Comme $n$ est impair, on a $$\underset{x\to +\infty }{\lim }P(x)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }P(x)=-\infty .$$ Il existe donc un réel $N_a<0$ tel que $P(N_a)<0$, et un réel $N_b>0$ tel que $P(N_b)>0$. En appliquant le Théorème de la valeur intermédiaire sur l’intervalle $[N_a,N_b]$, avec $h=0$, on conclut: il existe $c\in ]N_a,N_b[$ tel que $P(c)=0$.

On sait que $f$ atteint son minimum et son maximum: $$f(x^{\ast })=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x),f(x_{\ast })=\underset{x\in [a,b]}{\min }f(x).$$ Puisque $f(x_{\ast })⩽f(x)⩽f(x^{\ast })$ pour tout $x\in [a,b]$, on a $$\mathrm{Im}(f)\subset [f(x_{\ast }),f(x^{\ast })].$$ Si $x_{\ast }=x^{\ast }$, alors $f$ est constante et donc $\mathrm{Im}(f)$ ne contient qu’un point (qu’on peut considérer comme un intervalle fermé et borné). Sinon, on peut supposer sans perte de généralité que $x_{\ast }<x^{\ast }$.
En choisissant un $h\in [f(x_{\ast }),f(x^{\ast })]$ quelconque, le théorème de la valeur intermédiaire garantit qu’il existe un $c\in ]x_{\ast },x^{\ast }[$ tel que $f(c)=h$. Par conséquent, $h\in \mathrm{Im}(f)$, et donc $$[f(x_{\ast }),f(x^{\ast })]\subset \mathrm{Im}(f).$$ On a donc montré que $\mathrm{Im}(f)=[f(x_{\ast }),f(x^{\ast })]$, qui est bien un intervalle fermé et borné.