Par l’absurde, supposons que $f$ n’est pas majorée. Alors pour tout $n>0$ il existe $x_n\in [a,b]$ tel que $f(x_n)>n$, et donc $f(x_n)\to +\infty$.
Par construction, $(x_n{)}_n$ est bornée. Par le Théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite $(x_{n_k}{)}_k$ et $x^{\ast }\in [a,b]$ telle que ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=x^{\ast }$. Mais donc, puisque $f$ est continue, elle est en particulier continue en $x^{\ast }$, et donc $$f(x^{\ast })=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=+\infty ,$$ ce qui est impossible (puisque $f(x^{\ast })$ doit être un nombre fini!). Donc $f$ est majorée.
En adaptant l’argument, on montre que $f$ est minorée.

Par le théorème précédent, $f$ est bornée, et donc $$s:=\underset{x\in [a,b]}{\sup }f(x)$$ est bien défini. Nous allons montrer qu’il existe un point $x^{\ast }\in [a,b]$ où $f$ prend cette valeur $s$.
Considérons la suite ${\epsilon }_n:=\frac{1}{n}$. Par définition du supremum, pour tout $n$ il existe $x_n\in [a,b]$ tel que $$s-{\epsilon }_n⩽f(x_n)⩽s.$$ Par construction, $f(x_n)\to s$ lorsque $n\to \infty$. Mais, comme $(x_n{)}_n$ est bornée (elle vit dans $[a,b]$!), le Théorème de Bolzano-Weierstrass garantit qu’il existe une sous suite $(x_{n_k}{)}_k$, et un $x^{\ast }\in [a,b]$, tels que ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=x^{\ast }$.
Calculons $f(x^{\ast })$. Puisque $f$ est continue sur $[a,b]$, elle est en particulier continue en $x^{\ast }$. Comme $x_{n_k}\to x^{\ast }$, on a donc $$f(x^{\ast })=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k}).$$ Mais, puisque $(f(x_{n_k}){)}_k$ est une sous-suite de $(f(x_n){)}_n$, elle converge vers la même limite: $$f(x^{\ast })=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=s.$$ On a donc $$f(x^{\ast })=\underset{x\in [a,b]}{\sup }f(x)=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x).$$ On procède de même pour la construction d’un point $x_{\ast }$ où $f$ atteint son minimum.