8.1 Définition de la continuité — Analyse I / FLIPPED

La continuité est la condition de régularité la plus naturelle que l’on puisse associer à une fonction

f

en un point

x_{0}

: elle impose que les valeurs de

f (x)

, pour

x

dans un petit voisinage de

x_{0}

soient proches de la valeur de

f (x_{0})

. Cette condition se formule rigoureusement en utilisant une limite:

Définition 8.1.

Soit

f : D \mapsto R

, où

D \subset R

est un ensemble ouvert, et soit

x_{0} \in D

. Si

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}),

on dit que

f

est continue en $x_{0}$ . Si la limite n’existe pas, ou si elle existe mais est différente de

f (x_{0})

, on dit qu’elle est discontinue en $x_{0}$ .
Si une fonction est continue en tout point

x_{0} \in D

, on dira simplement qu’elle est continue sur

D

La continuité d’une fonction

f

en un point

x_{0}

signifie que les valeurs de

f (x)

sont proches de

f (x_{0})

pour tous les points

x

proches de

x_{0}

. Très exactement: pour tout

ε > 0

, il existe

δ > 0

tel que

∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ ⩽ ε d \overset{e}{ˋ} s que ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ .

Sur l’animation suivante, choisir un

x_{0}

et tester la continuité de

f

x_{0}

, en procédant comme suit:

Fixer une valeur de $ε > 0$ (petite),
Chercher un $δ > 0$ adapté tel que la relation ci-dessus soit satisfaite. Remarquer que plus $ε$ est pris petit, plus $δ$ doit aussi être pris petit pour satisfaire cette contrainte.

Exemple 8.1.

Étudions la continuité de la fonction

f (x) := ⎩ ⎨ ⎧ 4 - x \frac{3}{2} x - 2 si x < 3, si x = 3, si x > 3 .

Montrons d’abord que

f

est continue en tout point

x_{0} \neq = 3

Si $x_{0} < 3$ , alors $x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim (4 - x) = 4 - x_{0} = f (x_{0}) .$
Si $x_{0} > 3$ , alors $x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim (x - 2) = x_{0} - 2 = f (x_{0}) .$

Considérons ensuite le cas

x_{0} = 3

. D’une part, en ce point la fonction prend la valeur

f (3) = 3/2

, mais d’autre part

x \to 3^{-} lim f (x) = x \to 3^{-} lim (4 - x) = 1,

x \to 3^{+} lim f (x) = x \to 3^{+} lim (x - 2) = 1,

ce qui implique l’existence de

lim_{x \to 3} f (x)

, mais

x \to 3 lim f (x) \neq = f (3),

donc

f

est discontinue en

x_{0} = 3

L’exemple précédent montre comme il est facile de créer une discontinuité en un point

x_{0}

: en définissant la fonction différemment de part et d’autre de

x_{0}

Informel 8.1.Les fonctions qui sont continues en tout point de leur domaine de définition, sur lesquelles nous reviendrons, jouent un rôle particulier en analyse, car elle jouissent de certaines propriétés remarquables. Du point de vue graphique, le graphe d’une telle fonction ne présente aucun saut, et peut théoriquement être tracé “sans lever le crayon”.

8.1.1 Des fonctions avec beaucoup de discontinuités

En vue de l’exemple du début de cette section, on voit qu’il est facile de créer des fonctions possédant une, deux ou plusieurs discontinuités. On peut évidemment créer des fonctions possédant une infinité de discontinuités (par exemple, la valeur entière

x \mapsto ⌊ x ⌋

est discontinue en tout point

x_{0} \in Z

), mais il existe des fonctions qui ne sont continues nulle part...

Exemple 8.2.

Considérons la fonction

f (x) := {10 si x \in Q, si x \in R ∖ Q

(Un ordinateur ne peut évidemment pas représenter le graphe d’une telle fonction.)
Montrons que

f

est discontinue en tout

x_{0} \in R

. En effet, pour un

x_{0} \in R

quelconque, il existe toujours une suite d’irrationnels

i_{n} \to x_{0}

, pour laquelle

n \to \infty lim f (i_{n}) = 0,

et une suite de rationnels

r_{n} \to x_{0}

, pour laquelle

n \to \infty lim f (r_{n}) = 1 .

Ceci implique que

f (x)

n’a pas de limite lorsque

x \to x_{0}

, et donc que

f

n’est pas continue en

x_{0}

. Comme ce raisonnement vaut pour tout

x_{0}

f

est discontinue partout.

En bas de page, on donne un exemple d’une fonction qui est discontinue “presque partout”, dans le sens suivant: continue en tout point irrationnel, discontinue en tout point rationnel.

8.1.2 Continuité des fonctions élémentaires

Lemme 8.1.

Les fonctions qui sont des sommes, produits, quotients (lorsqu’ils sont bien définis) et composées de fonctions continues sont continues.

La plupart des fonctions fondamentales de l’analyse sont continues (sur leur domaine).

Tout polynôme $x \mapsto P (x)$ est continu sur $R$ .
Les fonctions trigonométriques $sin (x)$ et $cos (x)$ sont continues sur $R$ ; $tan (x)$ est continue sur $R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$ ,
Pour toute base $a > 0$ , l’exponentielle $a^{x}$ est continue sur $R$ . (En particulier, $x \mapsto e^{x}$ est continue.)
Pour toute base $a > 0$ , la fonction logarithme $lo g_{a} (x)$ est continue sur $R_{+}^{*}$ . (En particulier, $x \mapsto lo g (x)$ est continue.)

8.1.3 Continuité latérale

Introduisons une notion de continuité un peu plus faible:

Définition 8.2.

Soit $f$ une fonction définie en $x_{0}$ et dans un voisinage à gauche de $x_{0}$ . On dit que $f$ est continue à gauche en $x_{0}$ si $x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Soit $f$ une fonction définie en $x_{0}$ et dans un voisinage à droite de $x_{0}$ . On dit que $f$ est continue à droite en $x_{0}$ si $x \to x_{0}^{+} lim f (x) = f (x_{0})$ .

Une fonction continue à droite, mais pas à gauche, en

x_{0}

Exemple 8.3.

Étudions la continuité de la fonction

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 9 - 3}{x} 1/6 \frac{x ^{2} + x}{sin ( 3 x )} si 0 < x < \frac{π}{3}, si x = 0, si - \frac{π}{3} < x < 0,

au point

x_{0} = 0

. Puisque

f

est définie différemment de part et d’autre de

0

, on étudie les limites latérales:

x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim \frac{x + 9 - 3}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{1}{x + 9 + 3} = \frac{1}{6},

x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{-} lim \frac{x ^{2} + x}{sin ( 3 x )} = x \to 0^{-} lim \frac{1}{\frac{s i n ( 3 x )}{3 x}} \frac{x + 1}{3} = \frac{1}{3} .

Puisque

f (0) = \frac{1}{6}

, on conclut qu’en

0

f

est continue à droite mais discontinue à gauche.

Théorème 8.1.

Soit

f

définie en

x_{0}

et dans son voisinage. Alors

f

est continue en

x_{0}

si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en

x_{0}

Attention: ne manquez pas de lire l’exemple tout en fin de section!

Quiz 8.1.1.Vrai ou faux?

f

est continue en

x_{1}

g

est continue en

x_{2}

, alors

f + g

est continue en

x_{1} + x_{2}

.Si

f

g

sont toutes deux discontinues en

x_{0}

, alors

f + g

est aussi discontinue en

x_{0}

.Si

f

est continue en

x_{0}

g

est discontinue en

x_{0}

, alors

f + g

est discontinue en

x_{0}

.Si

f

est continue en

x_{*}

et si

(y_{n})

est une suite telle que

y_{n} \to x_{*}

, alors

f (y_{n}) \to f (x_{*})

.Soit

x_{0} \in R

. Si il existe deux suites

(a_{n})

(b_{n})

telles que

a_{n} \to x_{0}

b_{n} \to x_{0}

f (a_{n}) \to L_{1}

f (b_{n}) \to L_{2}

, avec

L_{1} \neq = L_{2}

, alors

f

est discontinue en

x_{0}

.Si

f

est continue en

x_{0}

, alors

f

est continue en tout point

x_{0}^{'}

suffisamment proche de

x_{0}

.Si

f

est continue en

x_{0}

et si

f (x_{0}) \neq = 0

, alors

f (x) \neq = 0

pour tout

x

suffisamment proche de

x_{0}

.Si

f

est discontinue en

x_{0}

et si

f (x_{0}) = 0

, alors

f (x_{0} - ε) f (x_{0} + ε) < 0

pour tout

ε > 0

suffisamment petit.

Quiz 8.1.2.Soit

f : R \to R

, continue en un point

x_{0}

. Parmi les affirmations ci-dessous, lesquelles sont correctes?

Quiz 8.1.3.Soient

f, g : R \to R

deux fonctions continues. Vrai ou faux?

Exemple 8.4.

Considérons la fonction

f :] 0, 1 [\to R

définie par

f (x) := {0 \frac{1}{q} si x est irrationnel, si x = \frac{p}{q} (irr \overset{e}{ˊ} ductible).

Par exemple,

f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}, f (\frac{3}{5}) = \frac{1}{5}, f (\frac{12}{39}) = f (\frac{4}{13}) = \frac{1}{13} .

Le graphe de

f

ressemble à quelque chose comme ça:

Nous allons montrer que $f$ est continue en tout point irrationnel, discontinue en tout point rationnel.
Clairement,

f

est discontinue en tout

x_{0}

rationnel non-nul. En effet, on peut toujours trouver une suite d’irrationnels

i_{n} \to x_{0}

, pour laquelle

n \to \infty lim f (i_{0}) = 0 \neq = f (x_{0}) .

Avant de poursuivre, définissons pour chaque entier

k ⩾ 1

l’ensemble

Q (k) := {\frac{p}{k} ∣ irr \overset{e}{ˊ} ductible, p \in Z} \subset Q .

Remarquons que la distance entre deux points de

Q (k)

est d’au moins

\frac{1}{k}

. Par définition, si

x \in Q (k)

, alors

f (x) = \frac{1}{k}

.
Fixons maintenant un irrationnel

x_{0}

, et montrons que

f

est continue en

x_{0}

, c’est-à-dire que

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}) = 0 .

Pour cela, fixons

ε > 0

et considérons un entier

k ⩾ 1

tel que

\frac{1}{k} ⩽ ε

. Soit

δ > 0

, assez petit pour que les rationnels contenus dans

[x_{0} - δ, x_{0} + δ]

ne soient que des rationnels des ensembles

Q (k^{'})

k^{'} > k

Si $x$ est irrationnel, alors $f (x) = 0$ .
Si $x$ est rationnel, alors il appartient nécessairement à un des ensemble $Q (k^{'})$ , $k^{'} > k$ , ce qui implique $∣ f (x) ∣ = \frac{1}{k ^{'}} < \frac{1}{k} < ε$ .

Dans les deux cas, on a

∣ f (x) ∣ ⩽ ε

pour tout

x \in [x_{0} - δ, x_{0} + δ]