En effet, pour tout $k<n$, on peut réarranger le $DL(n)$ comme suit: $$\begin{array}{rl}f(x)& =a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_k(x-x_0{)}^k+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+(x-x_0{)}^n\epsilon (x)\\ & =a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_k(x-x_0{)}^k+(x-x_0{)}^k\underset{=:\tilde{\epsilon }(x)}{\underbrace{(a_{k+1}(x-x_0)+\cdots +(x-x_0{)}^{n-k}\epsilon (x))}}\end{array}$$ Comme $\tilde{\epsilon }(x)\to 0$ lorsque $x\to x_0$, l’unicité du $DL(k)$ implique bien que cette dernière ligne est le $DL(k)$ de $f$ autour de $x_0$.

1. En additionnant les deux $DL(n)$ et en regroupant les termes correspondants aux mêmes puissances, on a $$\begin{array}{rl}f(x)+g(x)=& (a_0+b_0)\\ & +(a_1+b_1)(x-x_0)\\ & +\cdots \\ & +(a_n+b_n)(x-x_0{)}^n\\ & +\underset{=:\varphi (x)}{\underbrace{(\epsilon (x)+\eta (x))}}(x-x_0{)}^n.\end{array}$$ Comme ${\lim }_{x\to x_0}\varphi (x)=0$, l’unicité du DL fait que l’expresion ci-dessus est bien le $DL(n)$ pour $f+g$.
2. Considérons pous simplifier le cas $n=2$. Et pour y voir clair, écrivons les parties principales de manière plus compacte: $$\begin{array}{rl}f(x)& =p(x)+\epsilon (x)(x-x_0{)}^2,\\ g(x)& =q(x)+\eta (x)(x-x_0{)}^2,\end{array}$$ où $$\begin{array}{rl}p(x)& =a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2\\ q(x)& =b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0{)}^2.\end{array}$$ En multipliant les deux $DL(2)$, et en regroupant, on obtient $$\begin{array}{rl}& f(x)g(x)\\ & =p(x)q(x)+p(x)\eta (x)(x-x_0{)}^2+q(x)\epsilon (x)(x-x_0{)}^2+\epsilon (x)\eta (x)(x-x_0{)}^4\\ & =p(x)q(x)+(x-x_0{)}^2\underset{=:{\psi }_1(x)}{\underbrace{(p(x)\eta (x)+q(x)\epsilon (x)+\epsilon (x)\eta (x)(x-x_0{)}^2)}},\end{array}$$ où ${\psi }_1(x)\to 0$ quand $x\to x_0$. Ensuite, calculons explicitement le produit des parties principales, et regroupons les puissances: $$\begin{array}{rl}p(x)q(x)& =a_0{b}_0\\ & +(a_0{b}_1+a_1{b}_0)(x-x_0)\\ & +(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)(x-x_0{)}^2\\ & +\underset{=:{\psi }_2(x)(x-x_0{)}^2}{\underbrace{(a_1{b}_2+a_2{b}_1)(x-x_0{)}^3+a_2{b}_2(x-x_0{)}^4}},\end{array}$$ où ${\psi }_2(x)\to 0$ quand $x\to x_0$. On a donc, en posant $\psi (x):={\psi }_1(x)+{\psi }_2(x)$, $$\begin{array}{rl}f(x)g(x)& =a_0{b}_0\\ & +(a_0{b}_1+a_1{b}_0)(x-x_0)\\ & +(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)(x-x_0{)}^2\\ & +\psi (x)(x-x_0{)}^2.\end{array}$$ ce qui démontre la formule dans le cas où $n=2$. Le cas général se traite de façon similaire.