Considérons l’indétermination “$\frac{0}{0}$” dans la limite $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)-1}{x^2}$$ On a déjà calculé cette limite (en multipliant et divisant par le conjugué $\cos (x)+1$), mais voyons comment utiliser un $DL$ pour approcher le problème de façon différente.
Comme on s’intéresse à $x$ proche de $0$, on peut utiliser le $DL(2)$ du cosinus vu plus haut, $$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+x^2\epsilon (x),$$ où on rappelle que $\epsilon (x)\to 0$ quand $x\to 0$. Ce DL permet de montrer que la “petitesse” du numérateur de notre quotient est en fait quadratique en $x$, puisque $$\cos (x)-1=-\frac{x^2}{2!}+x^2\epsilon (x)=(-\frac{1}{2}+\epsilon (x))x^2.$$ (Une “petitesse en $x^2$” donc.) Ceci donne $$\frac{\cos (x)-1}{x^2}=\frac{(-\frac{12}{+}\epsilon (x))x^2}{x^2}=-\frac{1}{2}+\epsilon (x).$$ Cette expression montre, de manière transparente, que ce quotient est proche de $-\frac{1}{2}$ quand $x$ est proche de $0$. En effet, puisque ${\lim }_{x\to 0}\epsilon (x)=0$, la limite est $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)-1}{x^2}=-\frac{1}{2}+\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=-\frac{1}{2}.$$

(Sur l’importance du choix de l’ordre du DL.) Étudions $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sin x{)}^2-x^2\cos (x)}{x^2(1-\cos x)}.$$ Numérateur et dénominateur sont petits quand $x$ est proche de $0$, et des DL vont permettre de quantifier précisément leurs petitesses respectives. Par contre, on va voir qu’il sera nécessaire de prendre un développement d’ordre suffisamment élevé pour conclure.

1. Commençons simplement, en prenant le $DL(1)$ pour le sinus et le $DL(2)$ pour le cosinus. On nomme les restes différemment pour pouvoir les distinguer:
   $$\sin (x)=x+x{\epsilon }_s(x)\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+x^2{\epsilon }_c(x).$$
   Alors le numérateur devient
   $$\begin{array}{rl}(\sin x{)}^2-x^2\cos (x)& =(x+x{\epsilon }_s(x){)}^2-x^2(1-\frac{x^2}{2!}+x^2{\epsilon }_c(x))\\ & =\underset{??}{\underbrace{2x^2{ϵ}_s(x)+x^2{ϵ}_s(x{)}^2+\frac{x^4}{2!}-x^4{ϵ}_c(x)}}\end{array}$$
   Dans cette expression, tout est petit, mais aucun terme ne domine clairement les autres. Il est donc nécessaire d’aller à un ordre plus élevé.
2. Prenons le $DL(3)$ pour le sinus, en gardant le $DL(2)$ pour le cosinus:
   $$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+x^3{\epsilon }_s(x)\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+x^2{\epsilon }_c(x).$$
   Alors le numérateur peut s’écrire
   $$\begin{array}{rl}& (\sin x{)}^2-x^2\cos x\\ & =(x-\frac{x^3}{3!}+x^3{\epsilon }_s(x){)}^2-x^2(1-\frac{x^2}{2!}+x^2{\epsilon }_c(x))\\ & =\frac{1}{6}{x}^4+x^4\underset{\equiv \epsilon (x)}{\underbrace{(\frac{x^2}{(3!{)}^2}+x^2{ϵ}_s(x{)}^2+2{ϵ}_s(x)-\frac{x^2}{3!}{ϵ}_s(x)-{ϵ}_c(x))}}\\ & =(\frac{1}{6}+\epsilon (x))x^4.\end{array}$$
   Maintenant, on comprend que la petitesse du numérateur est en $x^4$.
   Ensuite, le dénominateur devient
   $$\begin{array}{rl}{x}^2(1-\cos x)& =x^2\{1-(1-\frac{x^2}{2!}+x^2{\epsilon }_c(x)\left)\right\}\\ & =\frac{1}{2}{x}^4-x^4{\epsilon }_c(x)\\ & =(\frac{1}{2}-{\epsilon }_c(x))x^4.\end{array}$$
   et représente donc aussi une petitesse en $x^4$. Donc
   $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sin x{)}^2-x^2\cos (x)}{x^2(1-\cos x)}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{16}{+}\epsilon (x))x^4}{(\frac{12}{-}{ϵ}_c(x))x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{16}{+}\epsilon (x)}{\frac{12}{-}{ϵ}_c(x)}\\ & =\frac{1}{3}.\end{array}$$

Remarquons que dans ce calcul, on a vraiment travaillé partout avec des égalités!