9.12 Sur la recherche des extrema d'une fonction sur un intervalle $[a,b]$

Passons maintenant à l’utilisation de la dérivée dans la recherche des extrema globaux d’une fonction.

On a vu que lorsque

f : [a, b] \to R

est continue, elle atteint son minimum et son maximum:

Dans cette section, on décrit un algorithme qui permet (en principe) de trouver ces extrema par le calcul.
Considérons, pour fixer les idées, la recherche du maximum global d’une fonction continue

f : [a, b] \to R

. Par simple observation, puisqu’on sait qu’il est atteint quelque part sur

[a, b]

, on peut facilement lister toutes les possibilités:

Il peut être atteint sur les bords, en $x = a$ ou en $x = b$ .
Il peut être atteint à l’intérieur de l’intervalle, c.-à-d. dans $] a, b [$ . Mais comme c’est un maximum global, il est aussi local. Donc si $f$ est dérivable en ce point, sa dérivée s’y annule. Et si elle n’est pas dérivable, on traite le cas séparément.

Cette simple distinction des cas nous mène directement à un algorithme pour la recherche du minimum et du maximum de

f

On commencera par chercher les points stationnaires, c’est-à-dire les points $x \in] a, b [$ où $f$ est dérivable et s’annule: $f^{'} (x) = 0$ , ainsi que les points de $] a, b [$ où $f$ n’est pas dérivable.
On regardera les valeurs de la fonction sur le bord de l’intervalle, en $x = a$ et $x = b$ , et on les comparera avec les valeurs en chacun des points trouvés à l’étape précédente.
Après avoir listé toutes ces valeurs, on garde la plus grande, et la plus petite.

Remarque 9.7.

On a vu (dans Continuité sur un intervalle compact) que si

f : [a, b] \to R

est continue, alors son ensemble image est un intervalle fermé et borné, donné par

Im (f) = [x \in [a, b] min f (x), x \in [a, b] max f (x)],

et peut donc être trouvé à l’aide de l’algorithme décrit ci-dessus.

Exemple 9.39.

Cherchons les extremas de la fonction

f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}

sur

[- 1, 2]

Points stationnaires:
$f^{'} (x) = 12 (x^{3} + x^{2} - 2 x) = 12 x (x^{2} + x - 2) = 12 x (x + 2) (x - 1),$
donc la dérivée est nulle en $- 2 \neq \in [- 1, 2]$ , en $0 \in [- 1, 2]$ et en $1 \in [- 1, 2]$ . On garde:
$f (0) = 0 f (1) = - 5$
Sur les bords: $f (- 1) = - 13, f (2) = 32$

En comparant les quatre valeurs encadrées ci-dessus, on voit que

$f$ atteint son maximum global en $x = 2$ (sur le bord)
$f$ atteint son minimum global en $x = - 1$ (sur le bord)

En particulier,

Im (f) = [- 13, 32] .

Exemple 9.40.

Considérons

f (x) = ∣ x^{2} (x - 2) ∣

sur l’intervalle

[1, 3]

. Comme

f : [1, 3] \to R

est continue, elle atteint son minimum et son maximum. On commence par écrire

∣ x^{2} (x - 2) ∣ = {- x^{2} (x - 2) x^{2} (x - 2) si x \in [1, 2], si x \in] 2, 3] .

Points stationnaires: Sur $] 1, 2 [$ , $f^{'} (x) = x (4 - 3 x)$ , donc deux points où la dérivée s’annule, en $0 \neq \in] 1, 2 [$ et en $\frac{4}{3} \in] 1, 2 [$ :
$f (\frac{4}{3}) = \frac{32}{27}$
Sur $] 2, 3 [$ , $f^{'} (x) = x (3 x - 4)$ , donc ne s’annule pas.
Points où $f$ n’est pas dérivable? Seul candidat: $x = 2$ . En effet,
$x \to 2^{-} lim f^{'} (x) x \to 2^{+} lim f^{'} (x) = x \to 2^{-} lim (x (4 - 3 x)) = - 4 = x \to 2^{+} lim (x (3 x - 4)) = + 4$
Donc on garde
$f (2) = 0$
Sur les bords: $f (1) = 1 f (3) = 9$

On conclut que

f

atteint son minimum en $x = 2$ ,
atteint son maximum en $x = 3$ (sur le bord).

Remarquons qu’en

x = \frac{4}{3}

f

possède un maximum, qui est local mais pas global.
On a aussi montré que

Im (f) = [0, 9]

Quiz 9.12.1.Soit

f : [a, b] \to R

continue. Vrai ou faux?

Analyse I / FLIPPED

9.12 Sur la recherche des extrema d’une fonction sur un intervalle $[a, b]$

9.12 Sur la recherche des extrema d’une fonction sur un intervalle [a,b]

9.12 Sur la recherche des extrema d’une fonction sur un intervalle $[a, b]$