Soit $P(z)$ un polynôme complexe en $z$: $$P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n,$$ où les coefficients $a_k\in \mathbb{C}$. On dit que $P$ est de degré $n$ si $a_n\ne 0$.

Nous ne donnerons pas la preuve complète de ce théorème, mais nous esquisserons un argument géométrique qui contient l’idée centrale de l’argument, sur un exemple. L’adaptation au cas général ne présente pas de difficulté supplémentaire (même si des notions un peu plus avancées sont nécessaires pour l’exprimer rigoureusement).

Considérons le polynôme suivant, de degré $5$, $$P(z)=(2+\mathsf{i})+\mathsf{i}z+z^5.$$ Ce polynôme contient un terme constant non-nul, $2+\mathsf{i}\ne 0$, et il ne possède pas de racine facilement “devinable”. Pourtant, le Théorème Fondamental dit qu’il doit posséder au moins une racine. Voyons comment on peut, par un argument géométrique, se convaincre que c’est effectivement le cas.
Cherchons une racine $z$ écrite en forme polaire, $$z=r{e}^{\mathsf{i}\theta }.$$ Nous allons balayer $\mathbb{C}$ avec $z$, en passant des petites aux grandes valeurs du rayon $r⩾0$; pour chaque valeur fixée de $r$, on considère tous les arguments possibles $\theta \in [0,2\pi ]$. Nous allons donc “tester” tous les points $z\in \mathbb{C}$, en voyant $\mathbb{C}$ comme constitué d’une infinité de cercles centrés à l’origine.
Pour commencer, remarquons que si $r=0$, alors $z=0$, et l’image de ce point par $P$ est égale au terme constant: $$P(0)=2+\mathsf{i}\ne 0.$$ Donc $z=0$ n’est pas racine de ce polynôme, et on commence à augmenter le rayon.
Pour un $r>0$ fixé, considérons le cercle $C_r\subset \mathbb{C}$ de rayon $r$ centré à l’origine (en rouge sur l’animation ci-dessous).
L’image de $C_r$ par $P$, $$P(C_r):=\{P(z):z\in C_r\},$$ est une courbe fermée dans $\mathbb{C}$ que nous appellerons lacet (en bleu sur l’animation ci-dessous).
Si le lacet $P(C_r)$ touche l’origine,c’est qu’il existe un $z\in C_r$ tel que $P(z)=0$.
Remarquons ensuite que

• Si $r$ est petit, $P(C_r)$ est un petit lacet qui entoure $P(0)=2+\mathsf{i}$.
• Si $r$ est grand, alors $P(C_r)$ est un grand lacet qui entoure $5$ fois l’origine.

En augmentant $r$ progressivement, il doit donc exister au moins une valeur $r_{\ast }>0$ pour laquelle $P(C_{r_{\ast }})$ touche l’origine. Donc pour cette valeur $r_{\ast }$, il existe un $z_{\ast }\in C_{r_{\ast }}$ tel que $P(z_{\ast })=0$.

On comprend que la preuve du résultat général (pour un polynôme $P$quelconque) peut se faire en adaptant l’idée présentée ci-dessus. Le même argument est présenté dans The Fundamental Theorem of Algebra (Numberphile).

Ce résultat implique que si $z_0$ est une racine de $P$, alors $P$ peut se factoriser en un produit: $$P(z)=(z-z_0)Q(z),$$ où $Q$ est la division de $P$ par $z-z_0$; on peut obtenir $Q$ par division Euclidienne, ou alors à l’aide de la formule de récurrence pour ses coefficients, vue dans la preuve du lemme (on appel cette relation un Schéma de Hörner).