Factorisons le polynôme $$P(z)=z^2+2z+2,(a_2=1\ne 0),$$ en commençant par chercher ses racines. L’équation $P(z)=0$ ne possède pas de solutions réelles puisque $\Delta =4-8=-4<0$. Mais étant de degré $2$, $P(z)$ doit posséder deux racines complexes (garanti par le Théorème Fondamental de l’Algèbre). Voyons deux façons de les trouver.

1. On pose $z=a+b\mathsf{i}$ (où $a$ et $b$ sont réels!), que l’on injecte dans l’équation $z^2+2z+2=0$, pour trouver
   $$(\underset{=0}{\underbrace{a^2-b^2+2a+2}})+\mathsf{i}(\underset{=0}{\underbrace{2ab+2b}})=0.$$
   On a donc un petit système
   $$\begin{array}{rl}{a}^2-b^2+2a+2& =0\\ 2b(a+1)& =0.\end{array}$$
   Considérons la deuxième condition: $2b(a+1)=0$.
   • Cas 1): $b=0$. Signifie que $z$ est réel, or on a déjà dit qu’il n’y a pas de solution réelle.
   • Cas 2): $a=-1$. Inséré dans la première condition, on obtient $b=\pm \sqrt{1}=\pm 1$.
   On en déduit l’existence de deux racines, $z_1=-1-\mathsf{i}$ et $z_2=-1+\mathsf{i}$.
2. On utilise la formule classique$$\begin{array}{rl}z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& =\frac{-2\pm \sqrt{-4}}{2}\\ & =\frac{-2\pm 2\sqrt{-1}}{2}\\ & =-1\pm \sqrt{-1}\\ & =-1\pm \mathsf{i}.\end{array}$$

On a donc la factorisation de $P$: $$P(z)=(z-(-1-\mathsf{i}))(z-(-1+\mathsf{i})).$$

Par un des exemples traités dans la section précédente, la factorisation de $P(z)=z^3-\mathsf{i}$ est donnée par $$P(z)=(z-e^{\mathsf{i}\frac{\pi }{6}})(z-e^{\mathsf{i}\frac{5\pi }{6}})(z-e^{\mathsf{i}\frac{3\pi }{2}}).$$

Le polynôme $$P(z)=z^2-2\mathsf{i}z-1=(z-\mathsf{i}{)}^2$$ possède deux racines confondues: $z_1=z_2=\mathsf{i}$. Donc $\mathsf{i}$ est une racine de multiplicité $2$.

Le polynôme $P(z)=z^3-(4-3\mathsf{i})z^2+(4-12\mathsf{i})z+12\mathsf{i}$ peut se factoriser ainsi: $$P(z)=(z+3\mathsf{i})(z-2{)}^2.$$ Ainsi, la racine $z_1=-3\mathsf{i}$ est de multiplicité $n_1=1$, et $z_2=2$ est de multiplicité $2$.

On a vu plus haut que le polynôme $P(z)=z^2+2z+2$, dont tous les coefficients sont réels ($a_0=a_1=2$, $a_2=1$), possède deux racines: $z_1=-1-\mathsf{i}$ et $z_2=-1+\mathsf{i}$. Et effectivement, celles-ci sont conjuguées l’une par rapport à l’autre: $$z_2=\overline{z_1}.$$

Le polynôme $$P(z)=z^7-\pi z^6+\sqrt{2}z-1$$ est de degré impair, et tous ses coefficients sont réels. Par le corollaire, il possède au moins une racine réelle.

Utilisons cette méthode pour donner une factorisation du polynôme réel $$P(x)=x^4+1$$ (dont tous les coefficients sont réels) par des polynômes de degré $2$ réels. On commence par chercher ses racines complexes, qui sont solutions de $P(z)=z^4+1=0$. Ces racines satisfont donc $z^4=-1$; ce sont les racines $4$-èmes de $\omega =-1$. On trouve les racines $4$-èmes de $-1$, par la méthode de la section précédente. On commence par écrire $$\omega =-1=1\cdot e^{\mathsf{i}\pi },$$ qui donne, par le théorème, $$z=\sqrt[4]{1}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{\pi +2k\pi }{4}},k=0,1,2,3.$$ On trouve donc $$\begin{array}{rl}k=0& :z_0=e^{\mathsf{i}\frac{\pi }{4}}=+\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathsf{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ k=1& :z_1=e^{\mathsf{i}\frac{3\pi }{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathsf{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ k=2& :z_2=e^{\mathsf{i}\frac{5\pi }{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathsf{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ k=3& :z_3=e^{\mathsf{i}\frac{7\pi }{4}}=+\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathsf{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$$ La factorisation de $P$ en facteurs irréductibles complexes est donc $$P(z)=\underset{a_4=1}{\underbrace{1}}(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3).$$ On remarque que $$z_3=\overline{z_0},z_2=\overline{z_1}.$$ Les paires conjuguées de racines de $P(z)=z^4+1$ sont donc $(z_0,z_3)$ et $(z_1,z_2)$. En regroupant ces termes dans la factorisation, on obtient des polynômes de degré $2$ à coefficients réels: $$\begin{array}{rl}(z-z_0)(z-z_3)& =(z-z_0)(z-\overline{z_0})\\ & =z^2-2\mathrm{Re}{z}_{0}z+|z_0{|}^2\\ & =z^2-\sqrt{2}z+1,\\ (z-z_1)(z-z_2)& =(z-z_1)(z-\overline{z_1})\\ & =z^2-2\mathrm{Re}{z}_{1}z+|z_1{|}^2\\ & =z^2+\sqrt{2}z+1.\end{array}$$ On obtient ainsi la factorisation de $P$ en facteurs irréductibles réels: $$P(z)=(z^2-\sqrt{2}z+1)(z^2+\sqrt{2}z+1).$$

Factorisons $$P(z)=z^3-(2-3\mathsf{i})z^2-(1+5\mathsf{i})z+2+2\mathsf{i}.$$ Pour commencer, en testant avec quelques nombres simples, on remarque que $P(1)=0$ . Maintenant qu’on a cette racine, on sait que $P$ peut se factoriser: $$P(z)=(z-1)Q(z).$$ On trouve $Q(z)$ en effectuant la division euclidienne de $P(z)$ par $(z-1)$: On a donc $$Q(z)=z^2-(1-3\mathsf{i})z-(2+2\mathsf{i}),$$ qu’on factorise à son tour. En remarquant que $Q(-2\mathsf{i})=0$, on fait la division qui donne $Q(z)=(z+2\mathsf{i})(z-(1-\mathsf{i}))$. On a donc factorisé $P$: $$P(z)=(z-1)(z+2\mathsf{i})(z-(1-\mathsf{i})).$$