Analyse I / FLIPPED
Botafogo Contenu 01 (7-11 sept)
Communications
On trouvera dans les liens “Semaine”, comme celui-ci, la description de la matière (voir la liste des sujets plus bas, pointant vers les sections concernées du polycopié) à étudier cette semaine, et qui sera discutée et testée à la séance de contact du lundi suivant.
Rappelons que si vous le voulez, vous pourrez suivre les streamings (en direct) des cours que je donne aux étudiant.e.s de Génie Mécanique. Les liens pour les streaming et les enregistrements sont ici. Sous “Streaming et enregistrements” vous trouverez aussi tous les enregistrements des années précédentes.
Nous attendons vos questions sur le serveur, sur le polycopié ou les exercices! Pour ce qui concerne les exercices, posez autant de questions que vous voulez, mais regardez d’abord si une question semblable à la vôtre n’a pas déjà été posée, et si quelqu’un y a répondu. Aussi, n’hésitez pas à aider les autres en répondant à leurs questions!
Matière
Dans cette première semaine, nous allons faire quelques rappels pris dans les Notions Fondamentales du polycopié: notions de base de la théorie des fonctions, puis la méthode de preuve par récurrence. Ces sujets seront présentés à la première séance de contact.
Ensuite, vous étudierez les propriétés de l’ensemble des nombres réels, .
(Rappelons que sur un écran assez large, les liens ci-dessous s’ouvrent dans une colonne à droite.)
II. Notions élémentaires
1. Nombres réels:
- 1.1 Introduction
- 1.2 Règles de calcul:
- 1.3 Ordre:
- 1.4 Intervalles
- 1.5 Valeur absolue et distance
- 1.6 Supremum et infimum
Vidéos:
Ci-dessous, les vidéos des cours donnés aux GM. Remarquez que ces vidéos contiennent deux flux (celui du beamer et celui de la caméra), et vous pouvez choisir celui qui est au fond (utilisez en particulier le bouton qui ressemble à “”.
Vidéos:
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1.5 Valeur absolue et distance
Définition 1.1.
La valeur absolue de est définie par
Exemple 1.3.
- Puisque , on a .
- Puisque , on a .
Les propriétés suivantes suivent de la définition: pour tous ,
- si et seulement si
- Si , alors si et seulement si .
- Si , .
- Si on divise un réel non-nul par sa valeur absolue, on obtient son signe:
Proposition 1.1.
(Inégalité triangulaire) Pour tous ,
L’inégalité triangulaire sera utilisée très souvent lorsqu’on aura besoin d’estimer des sommes de réels. Plus précisément, considérons la somme de deux nombres et , que l’on sait être “petits” dans le sens où on a trouvé un tel que et . (Remarquons que ceci n’implique rien sur les signes des nombres et .) Alors, l’inégalité triangulaire permet de garantir que et donc
Remarque 1.2.
On peut utiliser la valeur absolue pour caractériser le nombre “zéro”: c’est l’unique nombre dont la valeur absolue est plus petite que tout nombre positif:
1.5.1 Distance
La valeur absolue permet de mesurer la proximité de deux réels , en définissant leur distance:
Lemme 1.2.
(Propriétés de la distance)
- pour tous . De plus, si et seulement si .
- pour tous
- Pour tous ,
Proof
Les deux premières affirmations suivent directement des propriétés de la valeur absolue. Pour la troisième, on insère , et on utilise l’inégalité triangulaire: Remarque: En géométrie Euclidienne, l’inégalité triangulaire dit que le chemin direct allant d’un point à un point est plus court que tout autre chemin (rectiligne) passant par un point intermédiaire : 
On utilisera souvent les équivalences suivantes: 
Quiz 1.5.1.Soit .
Quiz 1.5.2.Vrai ou faux?
Quiz 1.5.3.Vrai ou faux?
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