Considérons l’ensemble (la couleur, c’est juste pour voir l’ensemble sur le dessin du dessous) de tous les nombres de la forme $x=\frac{1}{n}$, où $n>0$ est un entier: $$A=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\dots \}$$ Clairement, $A$ possède un élément maximal: $x^{\ast }=\max A=1$. En effet, $x⩽1$ pour tout $x\in A$, et de plus $1\in A$: Par contre, $A$ ne possède pas de minimum. En effet, aucun élément de $A$ n’est plus petit que les autres.

Soit $B=[0,1[$. D’abord, $B$ possède un minimum, donné par $x_{\ast }=\min B=0$. (En effet, $0⩽x$ pour tout $x\in B$, et $0\in B$.) Par contre, $B$ n’a pas de maximum. En effet, pour tout $x\in B$, il existe toujours un autre élément $x^{\prime }\in B$ tel que $x^{\prime }>x$. On peut par exemple prendre $x^{\prime }:=\frac{x+1}{2}$, qui est le point milieu entre $x$ et $1$: Donc aucun élément de $B$ n’est maximal.

$B=[0,1[$ est majoré; $M=1$, $M=2$ sont des majorants. En fait, n’importe quel $M⩾1$ majore $B$.
Par contre, $M=0.9$ n’est pas un majorant; en effet, si on prend par exemple le point $x=0.95$, alors $x\in B$, et $x>M$.$B$ est aussi minoré: n’importe quel réel $m⩽0$ minore $B$.

Vus comme sous-ensembles de $\mathbb{R}$,

• $\mathbb{N}$ est minoré puisque $0⩽n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Par contre $\mathbb{N}$ n’est pas majoré. En effet, pour tout $M\in \mathbb{R}$, il existe un $n\in \mathbb{N}$ tel que $n>M$. Nous utiliserons ceci constamment par la suite.
• $\mathbb{Z}$ n’est ni minoré, ni majoré.

Reprenons l’ensemble de tout à l’heure: $$A=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\cdots \frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\dots \}.$$ Puisque $1\in A$ et que tout $x\in A$ est plus petit ou égal à $1$, $1$ est l’élément maximal de $A$, et $\sup A=\max A=1$.
Vérifions maintenant que $\inf A=0$. D’abord, $0$ minore $A$ puisque tout nombre de la forme $\frac{1}{n}$ est plus grand ou égal à $0$. Pour montrer que $0$ est le plus grand minorant, considérons un nombre quelconque $s^{\prime }>0$, et montrons que $s^{\prime }$ n’est pas un minorant pour $A$. En effet, si $s^{\prime }>0$, alors il existe un entier $n⩾1$ tel que $n>\frac{1}{s^{\prime }}$, ce qui est équivalent à $\frac{1}{n}<s^{\prime }$. Or comme $\frac{1}{n}\in A$, ceci montre que $s^{\prime }$ minore pas $A$.
On a donc bien montré que $0$ est le plus grand minorant: $\inf A=0$.