Contenu 01 (7-11 sept)

Communications

On trouvera dans les liens “Semaine”, comme celui-ci, la description de la matière (voir la liste des sujets plus bas, pointant vers les sections concernées du polycopié) à étudier cette semaine, et qui sera discutée et testée à la séance de contact du lundi suivant.

Rappelons que si vous le voulez, vous pourrez suivre les streamings (en direct) des cours que je donne aux étudiant.e.s de Génie Mécanique. Les liens pour les streaming et les enregistrements sont ici. Sous “Streaming et enregistrements” vous trouverez aussi tous les enregistrements des années précédentes.

Nous attendons vos questions sur le serveur, sur le polycopié ou les exercices! Pour ce qui concerne les exercices, posez autant de questions que vous voulez, mais regardez d’abord si une question semblable à la vôtre n’a pas déjà été posée, et si quelqu’un y a répondu. Aussi, n’hésitez pas à aider les autres en répondant à leurs questions!

Matière

Dans cette première semaine, nous allons faire quelques rappels pris dans les Notions Fondamentales du polycopié: notions de base de la théorie des fonctions, puis la méthode de preuve par récurrence. Ces sujets seront présentés à la première séance de contact.

Ensuite, vous étudierez les propriétés de l’ensemble des nombres réels,

R

(Rappelons que sur un écran assez large, les liens ci-dessous s’ouvrent dans une colonne à droite.)

II. Notions élémentaires

1. Nombres réels: $R$

Vidéos:

Ci-dessous, les vidéos des cours donnés aux GM. Remarquez que ces vidéos contiennent deux flux (celui du beamer et celui de la caméra), et vous pouvez choisir celui qui est au fond (utilisez en particulier le bouton qui ressemble à “

⇆

”.

Vidéos:

Les nombres réels forment avant tout un ensemble dans lequel on peut faire de l’arithmétique, c’est-à-dire dans lequel on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser. (En mathématiques, un ensemble muni de ces opérations est appelé un corps. )

La première opération, l’addition notée “

+

”, est une opération qui associe à une paire de réels

x, y

un nouveau réel noté

x + y

. Cette opération satisfait aux propriétés suivantes:

$x + y = y + x$ pour toute paire $x, y \in R$
$x + (y + z) = (x + y) + z$ pour tous $x, y, z \in R$
Il existe un élément $0 \in R$ , appelé élément neutre pour l’addition (ou simplement “zéro”), tel que $x + 0 = 0 + x = x$ pour tout $x \in R$ .
Pour tout $x \in R$ il existe un unique élément noté $- x \in R$ et appelé opposé de $x$ , tel que $x + (- x) = 0$ .

x, y \in R

, on peut définir leur soustraction:

x - y := x + (- y) .

La deuxième opération, la multiplication, notée “

\cdot

”, associe à une paire de réels

x, y

un nouveau réel noté

x \cdot y

. Elle satisfait aux propriétés suivantes:

$x \cdot y = y \cdot x$ pour tous $x, y \in R$
$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$ pour tout triplet $x, y, z \in R$
$x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ pour tous $x, y, z \in R$ ,
Il existe un élément $1 \in R$ , appelé élément neutre pour la multiplication (ou simplement “un”), tel que $1 \cdot x = x \cdot 1 = x$ pour tout $x \in R$ .
Pour tout $x \in R$ , $x \neq = 0$ , il existe un unique élément noté $x^{- 1} \in R$ , appelé inverse de $x$ , tel que $x \cdot x^{- 1} = x^{- 1} \cdot x = 1$ .

Souvent, on écrit

x y

au lieu de

x \cdot y

.
Si

x, y \in R

et si

y \neq = 0

, on peut définir leur division:

x \div y := x \cdot y^{- 1} .

En général, on écrit

\frac{x}{y}

au lieu de

x \div y

Remarque 1.1.

Q

est aussi muni de ces opérations, et les mêmes propriétés sont satisfaites. Ce n’est pas le cas de

N

(dans lequel, par exemple,

3

n’a pas d’opposé), ni de

Z

(dans lequel, par exemple,

2

n’a pas d’inverse).

Communications

Matière

II. Notions élémentaires

1. Nombres réels: R

1.2 Règles de calcul: +,−,⋅,÷

1. Nombres réels: $R$

1.2 Règles de calcul: $+, -, \cdot, \div$