Contenu 01 (7-11 sept)

Communications

On trouvera dans les liens “Semaine”, comme celui-ci, la description de la matière (voir la liste des sujets plus bas, pointant vers les sections concernées du polycopié) à étudier cette semaine, et qui sera discutée et testée à la séance de contact du lundi suivant.

Rappelons que si vous le voulez, vous pourrez suivre les streamings (en direct) des cours que je donne aux étudiant.e.s de Génie Mécanique. Les liens pour les streaming et les enregistrements sont ici. Sous “Streaming et enregistrements” vous trouverez aussi tous les enregistrements des années précédentes.

Nous attendons vos questions sur le serveur, sur le polycopié ou les exercices! Pour ce qui concerne les exercices, posez autant de questions que vous voulez, mais regardez d’abord si une question semblable à la vôtre n’a pas déjà été posée, et si quelqu’un y a répondu. Aussi, n’hésitez pas à aider les autres en répondant à leurs questions!

Matière

Dans cette première semaine, nous allons faire quelques rappels pris dans les Notions Fondamentales du polycopié: notions de base de la théorie des fonctions, puis la méthode de preuve par récurrence. Ces sujets seront présentés à la première séance de contact.

Ensuite, vous étudierez les propriétés de l’ensemble des nombres réels,

R

(Rappelons que sur un écran assez large, les liens ci-dessous s’ouvrent dans une colonne à droite.)

II. Notions élémentaires

1. Nombres réels: $R$

Vidéos:

Ci-dessous, les vidéos des cours donnés aux GM. Remarquez que ces vidéos contiennent deux flux (celui du beamer et celui de la caméra), et vous pouvez choisir celui qui est au fond (utilisez en particulier le bouton qui ressemble à “

⇆

”.

Vidéos:

La deuxième caractéristique de l’ensemble des nombres réels est que deux réels

x, y

peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux,

x = y

, il n’y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts,

x \neq = y

, alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l’autre:

Si $x$ est plus petit que $y$ , on note $x < y$ .
Si $x$ est plus grand que $y$ , on note $x > y$ .

Le fait que l’on puisse ainsi comparer n’importe quelle paire de réels distincts représente ce qu’on appelle un ordre total.
L’ordre total représente l’intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite.

x < y

: “

x

est à gauche de

y

”,

x > y

: “

x

est à droite de

y

”,

Lorsqu’on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s’ils sont distincts:

Si $x$ est plus petit ou égal à $y$ , on note $x ⩽ y$ .
Si $x$ est plus grand ou égal à $y$ , on note $x ⩾ y$ .

Exemple 1.1.

Toutes les inégalités ci-dessous sont vraies:

0 < \frac{1}{2} ⩽ 1, 1 ⩾ 1, 3 < π < 4 ⩽ 4.1 .

Par contre, les suivantes sont fausses:

0 > 0, - 1 < - 2, 0.99999 \dots < 1 .

Énonçons les propriétés des relations “

⩽, ⩾, <, >

”:

Pour toute paire $x, y \in R$ , on a soit $x ⩽ y$ , soit $y ⩽ x$ . Si on a à la fois $x ⩽ y$ et $y ⩽ x$ , alors $x = y$ .
$x ⩽ x$ pour tout $x \in R$ .
Si $x ⩽ y$ et $y ⩽ z$ , alors $x ⩽ z$ .
Si $x ⩽ y$ , alors $x + z ⩽ y + z$ pour tout $z \in R$ .
Si $0 ⩽ x$ et $0 ⩽ y$ , alors $0 ⩽ x \cdot y$

Informel 1.1.La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu’un nombre

x

est plus petit ou égal à un nombre

z

, on passera souvent par l’utilisation d’un réel intermédiaire

y

, et on vérifiera les deux relations “

x ⩽ y

”, “

y ⩽ z

”, qui ensemble garantissent que

x ⩽ z

D’autres propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés de base.

Exemple 1.2.

Montrons que si

x ⩽ y

s ⩽ t

, alors

x + s ⩽ y + t

. En effet, par la propriété 4.,

x ⩽ y

implique

x + s ⩽ y + s

. Mais, encore une fois par la propriété 4.,

s ⩽ t

implique

y + s = s + y ⩽ t + y = y + t

. On a donc

x + s ⩽ y + s et y + s ⩽ y + t,

ce qui donne, par la propriété 3.:

x + s ⩽ y + t

1.3.1 Signe

Un réel

x \in R

est dit

positif (resp. strictement positif) si $x ⩾ 0$ (resp. $x > 0$ ),
négatif (resp. strictement négatif) si $x ⩽ 0$ (resp. $x < 0$ ).

Quiz 1.3.1.(Ordre total sur

R

.) Vrai ou faux?

Quiz 1.3.2.Vrai ou faux?

Communications

Matière

II. Notions élémentaires

1. Nombres réels: R

1.3 Ordre: ⩽,⩾,<,>

1.3.1 Signe

1. Nombres réels: $R$

1.3 Ordre: $⩽, ⩾, <, >$