Série 01 (Fonctions, preuves par récurrence)

Ex-01-01

Sans faire de calculs, donner l’ensemble image des fonctions

f : D \to R

ci-dessous.

$- 2 x + 1$ , $D = R$
$- 2 x + 1$ , $D = [- 1, 1]$
$x^{p}$ ( $p \in Z^{*}$ impair), $D = R$
$x^{p}$ ( $p \in Z^{*}$ pair), $D = R$
$x^{2} + 1$ , $D = R$
$1 - x^{2}$ , $D = R$
$x^{2} + 2 x$ , $D = R$
$tan x$ , $D =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$sin x$ , $D = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$cos x$ , $D =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$\frac{1}{3} sin x$ , $D = R$
Sur $D = R$ , ${x + 1 \frac{1}{2} (x - 1) si x ⩾ 0 si x < 0$

Ex-01-02

Montrer que chaque fonction ci-dessous est bijective, et donner sa réciproque.

$f : [0, 1] \to [- 3, - 2]$ , $f (x) = x - 3$ .
$g : [0, 1] \to [0, 1]$ , $g (x) = x^{2}$ .
$h : [- 1, 0] \to [0, 1]$ , $h (x) = x^{2}$ .

Ensuite, esquisser le graphe de chacune de ces fonctions, ainsi que de leurs réciproques.

Ex-01-03

Soit

f : R \to R

bijective et impaire. Montrer que sa réciproque

f^{- 1} : R \to R

est aussi impaire.

Ex-01-04

Soit

f : R \to R

définie par

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 25} .

Calculer

Im (f)

. Ensuite, déterminer le nombre de préimages pour chaque

y \in Im (f)

Ex-01-05

(Facultatif!)

Montrer que la fonction ci-dessous est une bijection, puis donner sa réciproque.

f : R x \to R_{+}^{*} \mapsto \frac{3 ^{x} + 2}{3 ^{- x}}

Ex-01-06

Pour chacun des ensembles

C

ci-dessous, donner un exemple explicite de bijection

f :] 0, 1 [\to C

$C =] 0, b [$ , où $b > 0$ .
$C =] a, b [$ , où $a < b$ .
$C =] 0, \infty [$
$C =] - \infty, \infty [$
$C = [0, 1]$ (facultatif!)

Ex-01-07

Soient

f, g : R \to R

. Vrai ou faux?

$f \circ g = g \circ f \Leftrightarrow f = g$ .
Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $f \circ g$ est injective.
Si $f \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
Si $f \circ g$ est injective, alors $g$ est injective.
Si $f \circ g$ est injective, alors $f$ est injective.
Si $f \circ g$ est surjective, alors $f$ est surjective.

Ex-01-08

Montrer par récurrence que pour tout entier

n ⩾ 1

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} .

Ensuite, donner la valeur de la somme

k = 0 \sum 1000 (k + 1) (3 k + 2)

Ex-01-09

Montrer, par récurrence sur l’entier

n ⩾ 1

, que

n^{3} + 5 n

est un multiple de

3

Ex-01-10

Démontrer l’inégalité de Bernoulli: pour tout entier

n ⩾ 1

(1 + x)^{n} ⩾ 1 + n x, \forall x ⩾ - 1 .

Ex-01-11

Pour tout entier

n ⩾ 0

, on définit le nombre de Fermat

F_{n} := 2^{(2^{n})} + 1

. Démontrer, pour

n ⩾ 1

, l’identité

F_{n} = 2 + k = 0 \prod n - 1 F_{k} .

Ex-01-12

Montrer par récurrence que pour tout entier

n ⩾ 1

$k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{1}{2} n (n + 1))^{2}$
$k = 1 \sum n (- 1)^{n - k} k^{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

1.3 Ordre: $⩽, ⩾, <, >$

La deuxième caractéristique de l’ensemble des nombres réels est que deux réels

x, y

peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux,

x = y

, il n’y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts,

x \neq = y

, alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l’autre:

Si $x$ est plus petit que $y$ , on note $x < y$ .
Si $x$ est plus grand que $y$ , on note $x > y$ .

Le fait que l’on puisse ainsi comparer n’importe quelle paire de réels distincts représente ce qu’on appelle un ordre total.
L’ordre total représente l’intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite.

x < y

: “

x

est à gauche de

y

”,

x > y

: “

x

est à droite de

y

”,

Lorsqu’on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s’ils sont distincts:

Si $x$ est plus petit ou égal à $y$ , on note $x ⩽ y$ .
Si $x$ est plus grand ou égal à $y$ , on note $x ⩾ y$ .

Exemple 1.1.

Toutes les inégalités ci-dessous sont vraies:

0 < \frac{1}{2} ⩽ 1, 1 ⩾ 1, 3 < π < 4 ⩽ 4.1 .

Par contre, les suivantes sont fausses:

0 > 0, - 1 < - 2, 0.99999 \dots < 1 .

Énonçons les propriétés des relations “

⩽, ⩾, <, >

”:

Pour toute paire $x, y \in R$ , on a soit $x ⩽ y$ , soit $y ⩽ x$ . Si on a à la fois $x ⩽ y$ et $y ⩽ x$ , alors $x = y$ .
$x ⩽ x$ pour tout $x \in R$ .
Si $x ⩽ y$ et $y ⩽ z$ , alors $x ⩽ z$ .
Si $x ⩽ y$ , alors $x + z ⩽ y + z$ pour tout $z \in R$ .
Si $0 ⩽ x$ et $0 ⩽ y$ , alors $0 ⩽ x \cdot y$

Informel 1.1.La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu’un nombre

x

est plus petit ou égal à un nombre

z

, on passera souvent par l’utilisation d’un réel intermédiaire

y

, et on vérifiera les deux relations “

x ⩽ y

”, “

y ⩽ z

”, qui ensemble garantissent que

x ⩽ z

D’autres propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés de base.

Exemple 1.2.

Montrons que si

x ⩽ y

s ⩽ t

, alors

x + s ⩽ y + t

. En effet, par la propriété 4.,

x ⩽ y

implique

x + s ⩽ y + s

. Mais, encore une fois par la propriété 4.,

s ⩽ t

implique

y + s = s + y ⩽ t + y = y + t

. On a donc

x + s ⩽ y + s et y + s ⩽ y + t,

ce qui donne, par la propriété 3.:

x + s ⩽ y + t

1.3.1 Signe

Un réel

x \in R

est dit

positif (resp. strictement positif) si $x ⩾ 0$ (resp. $x > 0$ ),
négatif (resp. strictement négatif) si $x ⩽ 0$ (resp. $x < 0$ ).

Quiz 1.3.1.(Ordre total sur

R

.) Vrai ou faux?

Quiz 1.3.2.Vrai ou faux?