Série 01 (Fonctions, preuves par récurrence)

Ex-01-01

Sans faire de calculs, donner l’ensemble image des fonctions

f : D \to R

ci-dessous.

$- 2 x + 1$ , $D = R$
$- 2 x + 1$ , $D = [- 1, 1]$
$x^{p}$ ( $p \in Z^{*}$ impair), $D = R$
$x^{p}$ ( $p \in Z^{*}$ pair), $D = R$
$x^{2} + 1$ , $D = R$
$1 - x^{2}$ , $D = R$
$x^{2} + 2 x$ , $D = R$
$tan x$ , $D =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$sin x$ , $D = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$cos x$ , $D =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$\frac{1}{3} sin x$ , $D = R$
Sur $D = R$ , ${x + 1 \frac{1}{2} (x - 1) si x ⩾ 0 si x < 0$

Ex-01-02

Montrer que chaque fonction ci-dessous est bijective, et donner sa réciproque.

$f : [0, 1] \to [- 3, - 2]$ , $f (x) = x - 3$ .
$g : [0, 1] \to [0, 1]$ , $g (x) = x^{2}$ .
$h : [- 1, 0] \to [0, 1]$ , $h (x) = x^{2}$ .

Ensuite, esquisser le graphe de chacune de ces fonctions, ainsi que de leurs réciproques.

Ex-01-03

Soit

f : R \to R

bijective et impaire. Montrer que sa réciproque

f^{- 1} : R \to R

est aussi impaire.

Ex-01-04

Soit

f : R \to R

définie par

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 25} .

Calculer

Im (f)

. Ensuite, déterminer le nombre de préimages pour chaque

y \in Im (f)

Ex-01-05

(Facultatif!)

Montrer que la fonction ci-dessous est une bijection, puis donner sa réciproque.

f : R x \to R_{+}^{*} \mapsto \frac{3 ^{x} + 2}{3 ^{- x}}

Ex-01-06

Pour chacun des ensembles

C

ci-dessous, donner un exemple explicite de bijection

f :] 0, 1 [\to C

$C =] 0, b [$ , où $b > 0$ .
$C =] a, b [$ , où $a < b$ .
$C =] 0, \infty [$
$C =] - \infty, \infty [$
$C = [0, 1]$ (facultatif!)

Ex-01-07

Soient

f, g : R \to R

. Vrai ou faux?

$f \circ g = g \circ f \Leftrightarrow f = g$ .
Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $f \circ g$ est injective.
Si $f \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
Si $f \circ g$ est injective, alors $g$ est injective.
Si $f \circ g$ est injective, alors $f$ est injective.
Si $f \circ g$ est surjective, alors $f$ est surjective.

Ex-01-08

Montrer par récurrence que pour tout entier

n ⩾ 1

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} .

Ensuite, donner la valeur de la somme

k = 0 \sum 1000 (k + 1) (3 k + 2)

Ex-01-09

Montrer, par récurrence sur l’entier

n ⩾ 1

, que

n^{3} + 5 n

est un multiple de

3

Ex-01-10

Démontrer l’inégalité de Bernoulli: pour tout entier

n ⩾ 1

(1 + x)^{n} ⩾ 1 + n x, \forall x ⩾ - 1 .

Ex-01-11

Pour tout entier

n ⩾ 0

, on définit le nombre de Fermat

F_{n} := 2^{(2^{n})} + 1

. Démontrer, pour

n ⩾ 1

, l’identité

F_{n} = 2 + k = 0 \prod n - 1 F_{k} .

Ex-01-12

Montrer par récurrence que pour tout entier

n ⩾ 1

$k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{1}{2} n (n + 1))^{2}$
$k = 1 \sum n (- 1)^{n - k} k^{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

1.4 Intervalles

Avant de compléter la définition de

R

, utilisons les relations d’ordre,

⩽, <, >, ⩾

, pour introduire certains sous-ensembles particuliers de

R

appelés intervalles.

Soient

a, b \in R

a < b

. On définit les intervalles bornés:

[a, b]] a, b [[a, b [] a, b] := {x \in R : a ⩽ x ⩽ b}, := {x \in R : a < x < b}, := {x \in R : a ⩽ x < b}, := {x \in R : a < x ⩽ b},

On dit que

] a, b [

est ouvert, et que

[a, b]

est fermé. (On reviendra plus loin sur les notions d’ensemble borné/ouvert/fermé, qui sont générales et ne s’appliquent pas uniquement aux intervalles.) Pour représenter ces intervalles graphiquement, on utilisera une boule pleine pour indiquer que l’extrémité de l’intervalle est inclue, et vide pour indiquer que l’extrémité est exclue. Donc on représente

[a, b [

comme suit:

Ensuite, introduisons les intervalles non-bornés:

[a, + \infty [] a, + \infty [] - \infty, b]] - \infty, b [:= {x \in R : x ⩾ a}, := {x \in R : x > a}, := {x \in R : x ⩽ b}, := {x \in R : x < b} .

On définit en particulier les ensembles des réels positifs et strictement positifs, ainsi que les ensembles des réels négatifs et strictement négatifs,