Série 00 (Notions élémentaires)

Ex-00-01

Factoriser chaque expression.

$4 x^{2} - 25$
$2 x^{2} + 5 x - 12$
$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$
$x^{2} + 27 x$
$3 x^{3/2} - 9 x^{1/2} + 6 x^{- 1/2}$
$x^{3} y - 4 x y$

Ex-00-02

Simplifier les expressions rationnelles suivantes.

$\frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} - x - 2}$
$\frac{2 x ^{2} - x - 1}{x ^{2} - 9} \cdot \frac{x + 3}{2 x + 1}$
$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} - \frac{x + 1}{x + 2}$
$\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Ex-00-03

Dans chaque cas, effectuer la division polynomiale de

P (x)

par

Q (x)

. S’il y a un reste, le donner explicitement.

$P (x) = x^{2} + 5 x - 6$ , $Q (x) = x - 1$
$P (x) = x^{3} + 1$ , $Q (x) = x + 1$
$P (x) = x^{5} - 5 x^{2} - x + 3$ , $Q (x) = x^{2} + 1$
$P (x) = x + 1$ , $Q (x) = x^{2} + 1$

Ex-00-04

Rendre le dénominateur rationnel et simplifier.

$\frac{10}{5 - 2}$
$\frac{h}{9 + h + 3}$

Ex-00-05

Simplifier les expressions, où

a, b > 0

p, q \in R^{*}

$(ab)^{p} b^{q - p}$
$\frac{a ^{p}}{b ^{- q}}$
$\frac{b ^{q}}{a ^{- p}}$
$(a b^{\frac{q}{p}})^{p}$
$(a^{\frac{p}{q}} b)^{q}$
$(a^{\frac{1}{q}} b^{\frac{1}{p}})^{pq}$
$a^{2 p} b^{q}$
$((\frac{1}{a})^{q} + (\frac{1}{b})^{p}) \frac{a ^{p} ( ab ) ^{q}}{1 + \frac{a ^{q}}{b ^{p}}}$
$a^{q} b^{p} \frac{\frac{a ^{p} + b ^{q}}{( \frac{1}{a} ) ^{p} + ( \frac{1}{b} ) ^{q}}}{\frac{a ^{q} + b ^{p}}{( \frac{1}{b} ) ^{p} + ( \frac{1}{a} ) ^{q}}}$
$a^{q} b^{p} ((a^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p}} b^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}})^{p})^{q}$

Ex-00-06

Existe-t-il un triangle rectangle d’aire

A = 7

et de périmètre

P = 12

Ex-00-07

Résoudre dans

R

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{2 x - 1}{x}$
$x^{2} - x - 12 = 0$
$2 x^{2} + 4 x + 1 = 0$
$x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$
$3 ∣ x - 4∣ = 10$
$\frac{2 x}{4 - x} = 3 4 - x$
$(x + 1) (x + 6) = 1$
$∣ x - 1∣ - 3 = 1$

Ex-00-08

Résoudre chaque inégalité, et exprimer son ensemble solution sous forme d’intervalles.

$- 4 < 5 - 3 x ⩽ 17$
$x^{2} < 2 x + 8$
$x (x - 1) (x + 2) > 0$
$∣ x - 4∣ < 3$
$\frac{2 x - 3}{x + 1} ⩽ 1$
$∣ x^{2} - 1∣ ⩽ 1$

Ex-00-09

Compléter le carré dans les expressions suivantes:

$x^{2} + x + 1$
$2 x^{2} - 12 x + 11$

Ex-00-10

Résoudre chacune des inéquations ci-dessous:

$x + 6 ⩽ x$
$(x + 6)^{2} ⩽ x^{2}$
$(x + 6)^{2} ⩽ x^{2}$

Ex-00-11

Effectuer les conversions suivantes:

De radians en degrés: $α = \frac{5 π}{6}$ rad, $β = 2$ rad.
De degrés en radians: $μ = 30 0^{\circ}$ , $ν = - 1 8^{\circ}$ .

Ex-00-12

Calculer la longueur de l’arc d’un cercle de

12

centimètres de rayon sous-tendu par un angle au centre de

3 0^{\circ}

Ex-00-13

Dans le triangle ci-dessous, exprimer

a

b

en termes de

θ

Ex-00-14

Associer une valeur exacte à chacune des expressions suivantes.

$sin (\frac{7 π}{6})$
$cos (\frac{7 π}{4})$
$tan (\frac{π}{3})$
$2 cos (\frac{π}{8})$

Ex-00-15

Calculer

sin (x + y)

, sachant que

sin (x) = \frac{1}{3}

cos (y) = \frac{4}{5}

, et que

0 < x, y < \frac{π}{2}

Ex-00-16

Démontrer les identités suivantes.

$tan (θ) sin (θ) + cos (θ) = \frac{1}{c o s ( θ )}$
$\frac{2 t a n ( x )}{1 + t a n ( x ) ^{2}} = sin (2 x)$
$cos (α) cos (β) = \frac{1}{2} (cos (α + β) + cos (α - β))$

Ex-00-17

La figure ci-dessous montre le graphe d’une fonction

f

Que vaut $f (- 1)$ ?
Que vaut $f (2)$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f (x) = 2$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f (x) = 0$ ?
Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image de $f$ .

Ex-00-18

Déterminer le domaine de définition des fonctions ci-dessous

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 2}$
$g (x) = \frac{x ^{1/3}}{x ^{2} + 1}$
$h (x) = 4 - x + x^{2} - 1$
$i (x) = \frac{1}{∣ x ∣ + x}$

Ex-00-19

Esquisser à la main (sans l’aide d’une calculatrice) les graphes suivants.

$y = x^{3}$
$y = (x + 1)^{3}$
$y = (x - 2)^{3} + 3$
$y = 4 - x^{2}$
$y = x$
$y = 2 x$
$y = - 2^{x}$
$y = 1 + x^{- 1}$

Ex-00-20

Soit

f (x) = {1 - x^{2}, 2 x + 1, si x ⩽ 0, si x > 0 .

Calculer

f (- 2)

f (1)

, puis esquisser le graphe de

f

Ex-00-21

Soient

f (x) = x^{2} + 2 x - 1

g (x) = 2 x - 3

. Exprimer explicitement chacune des fonctions suivantes.

$f \circ g$
$g \circ f$
$g \circ g \circ g$

Ex-00-22

Soit

a, b > 0

p, q \in R

. Simplifier les expressions suivantes.

$exp (p lo g (a) + q lo g (b))$
$exp (p (lo g (a) - lo g (b)) + lo g (b) (p + q))$
$exp (p lo g (a b^{- 1}) + lo g (b^{p + q}))$
$exp (q lo g (\frac{b}{a}) + lo g (a^{q}) + p lo g (a))$

Ex-00-23

Pour chaque fonction

f

définie sur l’intervalle

I

, trouver le domaine de définition de la fonction réciproque

f^{- 1}

et esquisser les graphes de

f

f^{- 1}

. Rem.: Tous les domaines

I

sont choisis en sorte que la fonction réciproque existe.

$f (x) = sin (x)$ sur $I = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$f (x) = cos (x)$ sur $I = [0, π]$
$f (x) = tan (x)$ sur $I =] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$
$f (x) = e^{x}$ sur $I = R$

Ex-00-24

Simplifier les expressions ci-dessous.

$cos (2 arccos x)$
$cos (2 arcsin x)$
$sin (2 arccos x)$
$cos (2 arctan x)$
$sin (2 arctan x)$
$tan (2 arcsin x)$

Ex-00-25

Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes.

$arccos x - arcsin x$
$arccos (2 x)$
$tan (arcsin x)$
$arccos (\frac{2 - x ^{2}}{1 + x ^{2}})$

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$

Revenons à la question posée précédemment: si l’équation

x^{2} = 2

ne possède pas de solution dans

Q

, en possède-t-elle une dans

R

Montrer qu’il existe effectivement un

x \in R

tel que

x^{2} = 2

, “directement” est trop difficile. On fait donc un petit détour, en commençant par définir l’ensemble

A := {x \in R_{+} : x^{2} < 2} .

Remarquons que par exemple

0 \in A

, ou encore

1 \in A

, et donc

A

n’est pas vide.

Lemme 1.3.

A

n’a pas d’élément maximal.

Proof

Il s’agit de montrer que pour tout élément

x \in A

, il existe toujours un

x^{'} \in A

qui est strictement plus grand que

x

.
Cherchons un

x^{'}

de la forme

x^{'} = x + \frac{1}{n}

, avec

n \in N^{*}

. Dans ce cas,

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} .

Puisque

n ⩾ 1

, on peut majorer:

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{n}

. Ainsi,

x^{' 2} ⩽ x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} .

Puisqu’on veut

x^{'} \in A

, c’est-à-dire

x^{' 2} < 2

, imposons

x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < 2,

qui est équivalente à

n > \frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}} .

Le membre de droite est bien défini et positif puisque

2 - x^{2} > 0

. Et un

n

satisfaisant à cette propriété existe toujours puisque, quelle que soit la valeur de

\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}

, il existe toujours un

n

plus grand que ce nombre (ceci découle du fait que

N

n’est pas majoré). Si on prend un tel

n

, on a donc

x^{'} = x + \frac{1}{n} > x

, et

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} < x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < x^{2} + \frac{2 x + 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}} = 2 .

Ceci montre que

A

n’a pas d’élément maximal.

□

Ensuite, remarquons que

A

est majoré:

x ⩽ 3

pour tout

x \in A

. En effet, si

x > 3

, alors

x^{2} > 9 > 2

, et donc

x \neq \in A

.
On peut maintenant considérer le réel défini comme le supremum de

A

s := sup A .

Théorème 1.1.

Le nombre

s

défini ci-dessus satisfait

s^{2} = 2

Proof

Si on avait

s \in A

, cela impliquerait que

s

est un élément maximal pour

A

. Comme on vient de voir que

A

ne possède pas d’élément maximal, on en déduit que

s \neq \in A

, et donc que

s^{2} ⩾ 2 .

Nous allons maintenant montrer que

s^{2} ⩽ 2 .

Pour ce faire, commençons par définir le réel

M := \frac{2 + s ^{2}}{2 s}

et montrons que

M

majore

A

. En effet, observons que si

x > M

, alors

x^{2} = (s + (x - s))^{2} = s^{2} + 2 s (x - s) + ⩾ 0 (x - s)^{2} ⩾ s^{2} + 2 s (x - s) > s^{2} + 2 s (M - s) = s^{2} + 2 s (\frac{2 + s ^{2}}{2 s} - s) = 2,

et donc

x \neq \in A

. Ceci implique que si

x \in A

, alors

x ⩽ M

; donc

M

majore

A

. Mais, comme

s

est par définition le plus petit majorant de

A

, on a que

s ⩽ M

, c’est-à-dire

s ⩽ \frac{2 + s ^{2}}{2 s},

qui est équivalente à

s^{2} ⩽ 2

.
Comme

s^{2}

est à la fois

⩾ 2

⩽ 2

, ceci implique

s^{2} = 2

□

Le nombre

s

est appelé racine carrée de deux, et est noté

s = 2 .

Puisque

2 \in R

mais

2 \neq \in Q

comme on a vu,

2

est par définition irrationnel.

1.7.1 La fonction “racine”

On peut, en utilisant la même idée que celle présentée dans la preuve de la section précédente, montrer que pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{2} = y

possède une solution dans

R_{+}

Cette analyse montre que la fonction

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2}

et une surjection. On montre ici que c’est également une injection, et donc que cette fonction est une bijection.
Si

y ⩾ 0

, l’unique

x ⩾ 0

tel que

x^{2} = y

se note

x = y

, et se nomme racine carrée de $y$ . Toute la fonction réciproque s’appelle la fonction racine carrée:

f^{- 1} : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x

Comme on sait, son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Remarque 1.4.

La méthode se généralise, et permet de montrer que pour tout

n \in N^{*}

, et pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{n} = y

possède une unique solution dans

R_{+}

. Celle-ci se note

n y

et se nomme racine $n$ -ème de $y$ .

L’utilisation de la notion de supremum/infimum, pour construire la racine carrée ci-dessus, n’est évidemment qu’un exemple de ce que l’on peut faire dans les réels. Comme on verra dans la suite, l’utilisation de ces notions sera utilisée constamment, et fournira un socle sur lequel toute l’analyse réelle pourra être construite.

Quiz 1.7.1.Pour montrer que dans

R_{+}

, l’équation “

x^{2} = 2

” possède une solution...

Quiz 1.7.2.Vrai ou faux?

Série 00 (Notions élémentaires)

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Ex-00-22

Ex-00-23

Ex-00-24

Ex-00-25

1.7 Solutions de x2=2

1.7.1 La fonction “racine”

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$