Welcome!

Bienvenue sur la plateforme de la classe d’Analyse 1 inversée, version 2026!

Sacha Friedli (CMS, EPFL)

Physicien de formation, diplômé de l’UNIL (1999), j’ai obtenu mon doctorat à l’Institut de Physique Théorique en 2003. De retour à l’EPFL depuis 2016, j’enseigne principalement en BA1 en automne (Analyse 1 et Algèbre linéaire), à la Mise à Niveau au printemps (Analyse A et Algèbre linéaire et géométrie), ainsi que dans le programme de master en mathématiques (Statistical mechanics and Gibbs measures).

Remarque 1.

Pour naviguer sur cette plateforme, assurez-vous que la fenêtre de votre navigateur est assez large pour avoir deux colonnes, avec le polycopié apparaissant dans la colonne de droite.

Modalités

La classe d’Analyse 1 inversée, MATH-101(pi) est ouverte sur inscription aux étudiant.e.s de toutes les sections, exceptées les sections de Mathématiques, Physique et Architecture.
Le nombre d’inscriptions est limité à $250$ (depuis automne 2026).
Attention: les inscriptions sont prises dans l’ordre d’arrivée: “premier arrivé, premier servi”! Mais, si l’inscription n’est plus possible dû au nombre de places limité, retournez souvent sur ISA et réessayez, il y a parfois des désistements!

Dans les grandes lignes

Ce cours prétend offrir, via la présente plateforme, un ensemble de ressources centralisées pour l’enseignement de l’Analyse 1, permettant aux participants une plus grande flexibilité en comparaison avec les cours “classiques”.

Toutes les informations nécessaires sont accessibles dans le menu Informations générales de la colonne de navigation de gauche. En particulier, on y trouvera:

La description de la classe inversée.
Des informations sur les séances de contact et les séances d’exercices.
Une description du matériel didactique qui sera utilisé pendant le semestre.
Les liens vers les streams des cours donnés à la section de Génie Mécanique.
Quelques dates importantes.
Des remarques concernant les quiz et les exercices.

(Illustration: Charlie Hebdo, 2021)

Revenons à la question posée précédemment: si l’équation

x^{2} = 2

ne possède pas de solution dans

Q

, en possède-t-elle une dans

R

Montrer qu’il existe effectivement un

x \in R

tel que

x^{2} = 2

, “directement” est trop difficile. On fait donc un petit détour, en commençant par définir l’ensemble

A := {x \in R_{+} : x^{2} < 2} .

Remarquons que par exemple

0 \in A

, ou encore

1 \in A

, et donc

A

n’est pas vide.

Lemme 1.3.

A

n’a pas d’élément maximal.

Proof

Il s’agit de montrer que pour tout élément

x \in A

, il existe toujours un

x^{'} \in A

qui est strictement plus grand que

x

.
Cherchons un

x^{'}

de la forme

x^{'} = x + \frac{1}{n}

, avec

n \in N^{*}

. Dans ce cas,

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} .

Puisque

n ⩾ 1

, on peut majorer:

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{n}

. Ainsi,

x^{' 2} ⩽ x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} .

Puisqu’on veut

x^{'} \in A

, c’est-à-dire

x^{' 2} < 2

, imposons

x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < 2,

qui est équivalente à

n > \frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}} .

Le membre de droite est bien défini et positif puisque

2 - x^{2} > 0

. Et un

n

satisfaisant à cette propriété existe toujours puisque, quelle que soit la valeur de

\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}

, il existe toujours un

n

plus grand que ce nombre (ceci découle du fait que

N

n’est pas majoré). Si on prend un tel

n

, on a donc

x^{'} = x + \frac{1}{n} > x

, et

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} < x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < x^{2} + \frac{2 x + 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}} = 2 .

Ceci montre que

A

n’a pas d’élément maximal.

□

Ensuite, remarquons que

A

est majoré:

x ⩽ 3

pour tout

x \in A

. En effet, si

x > 3

, alors

x^{2} > 9 > 2

, et donc

x \neq \in A

.
On peut maintenant considérer le réel défini comme le supremum de

A

s := sup A .

Théorème 1.1.

Le nombre

s

défini ci-dessus satisfait

s^{2} = 2

Proof

Si on avait

s \in A

, cela impliquerait que

s

est un élément maximal pour

A

. Comme on vient de voir que

A

ne possède pas d’élément maximal, on en déduit que

s \neq \in A

, et donc que

s^{2} ⩾ 2 .

Nous allons maintenant montrer que

s^{2} ⩽ 2 .

Pour ce faire, commençons par définir le réel

M := \frac{2 + s ^{2}}{2 s}

et montrons que

M

majore

A

. En effet, observons que si

x > M

, alors

x^{2} = (s + (x - s))^{2} = s^{2} + 2 s (x - s) + ⩾ 0 (x - s)^{2} ⩾ s^{2} + 2 s (x - s) > s^{2} + 2 s (M - s) = s^{2} + 2 s (\frac{2 + s ^{2}}{2 s} - s) = 2,

et donc

x \neq \in A

. Ceci implique que si

x \in A

, alors

x ⩽ M

; donc

M

majore

A

. Mais, comme

s

est par définition le plus petit majorant de

A

, on a que

s ⩽ M

, c’est-à-dire

s ⩽ \frac{2 + s ^{2}}{2 s},

qui est équivalente à

s^{2} ⩽ 2

.
Comme

s^{2}

est à la fois

⩾ 2

⩽ 2

, ceci implique

s^{2} = 2

□

Le nombre

s

est appelé racine carrée de deux, et est noté

s = 2 .

Puisque

2 \in R

mais

2 \neq \in Q

comme on a vu,

2

est par définition irrationnel.

1.7.1 La fonction “racine”

On peut, en utilisant la même idée que celle présentée dans la preuve de la section précédente, montrer que pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{2} = y

possède une solution dans

R_{+}

Cette analyse montre que la fonction

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2}

et une surjection. On montre ici que c’est également une injection, et donc que cette fonction est une bijection.
Si

y ⩾ 0

, l’unique

x ⩾ 0

tel que

x^{2} = y

se note

x = y

, et se nomme racine carrée de $y$ . Toute la fonction réciproque s’appelle la fonction racine carrée:

f^{- 1} : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x

Comme on sait, son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Remarque 1.4.

La méthode se généralise, et permet de montrer que pour tout

n \in N^{*}

, et pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{n} = y

possède une unique solution dans

R_{+}

. Celle-ci se note

n y

et se nomme racine $n$ -ème de $y$ .

L’utilisation de la notion de supremum/infimum, pour construire la racine carrée ci-dessus, n’est évidemment qu’un exemple de ce que l’on peut faire dans les réels. Comme on verra dans la suite, l’utilisation de ces notions sera utilisée constamment, et fournira un socle sur lequel toute l’analyse réelle pourra être construite.

Quiz 1.7.1.Pour montrer que dans

R_{+}

, l’équation “

x^{2} = 2

” possède une solution...

Quiz 1.7.2.Vrai ou faux?

Modalités

Dans les grandes lignes

1.7 Solutions de x2=2

1.7.1 La fonction “racine”

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$