Syntaxe

Ensembles de nombres

• $a\in \{a,b,c\}$, $x\notin \{\alpha ,\beta ,\gamma \}$ \(a\in\{a,b,c\}\), \(x\not\in \{\alpha,\beta,\gamma\}\)
• $A\subset B$ \(A\subset B\)
• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\) (le ”bb” est pour ”blackboard”!)
• $n\in \mathbb{N},k\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ \(n\in\mathbb{N},k\not\in\mathbb{N}^*\)
• $x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ \(x=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\)

Nombres réels

• $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ \(\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}\)
• $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$ \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\)
• $0<x⩽1$ \(0\lt x\leq 1\) (lt=“lower than”, leq=“lower or equal”)
• $\max \{1,2,3\}=3$, $\min ([0,1[)=0$ \(\max\{1,2,3\}=3\), \(\min([0,1[)=0\)
• $A=\{x\in \mathbb{R}:x^2<2\}$ \(A=\{x\in \mathbb{R}:x^2\lt 2\}\)
• $\inf A⩽\sup A$ \(\inf A \leq \sup A\)
• $0>x⩾-1$ \(0\gt x\geq -1\) (“greater than”, “greater or equal”)
• $x\ne 0$ \(x\neq 0\) (“not equal”)
• Puissances et racines: $x^n$ \(x^n\) , $\sqrt{x}$ \(\sqrt{x}\) , $\sqrt[n]{x}$ \(\sqrt[n]{x}\)

Lettres grecques (les plus utilisées)

• $\epsilon ,\mu ,\nu$ \(\epsilon,\mu,\nu\)
• $\alpha ,\beta ,\delta ,\epsilon ,\varphi ,\phi ,\gamma ,\rho ,\sigma ,\theta ,\Gamma ,\Delta$ \(\alpha,\beta,\delta,\epsilon,\phi,\varphi,\gamma,\rho, \sigma,\theta,\Gamma,\Delta\)

Fonctions:

• $$\begin{array}{rl}f:A& \to B\\ x& \mapsto f(x)=x^2\end{array}$$
  latex

  \begin{align*}
   f:A & \to B \\
     x & \mapsto f(x)=x^2
  \end{align*}
  

• Une fonction définie par morceaux:
  $$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{ si }x⩽0,\\ x+1& \text{ si }x>0.\end{array}\end{array}$$
  latex

  \[
   f(x)=
  \begin{cases}
  x^2&\text{ si }x\leq 0\,,\\
  x+1&\text{ si }x\gt 0\,.
  \end{cases}
  \]
  

• Composée: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)
• $f^{-1}(f(x))=x$, $\forall x\in A$ \(f^{-1}(f(x))=x\), \(\forall x\in A\)
• $\log (x),e^x,\exp (x)$ \(\ln(x),e^x,\exp(x)\)
• $\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos (x)$ \(\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)\)
• Pour une suite d’égalités, que l’on veut par exemple aligner verticalement sur le “$=$”:
  $$\begin{array}{rl}(x+y{)}^3& =(x+y)(x+y{)}^2\\ & =(x+y)(x^2+2xy+y^2)\\ & =x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3.\end{array}$$
  latex

  \begin{align*}
   (x+y)^3
  &=(x+y)(x+y)^2\\
  &=(x+y)(x^2+2xy+y^2)\\
  &=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\,.
  \end{align*}
  

• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ \((x^n)'=nx^{n-1}\)

Sommes et produits

• ${\sum }_{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+\cdots +a_n$ \(\sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+\cdots +a_n\)
• $$\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+\cdots +a_n$$\[\sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+\cdots +a_n\]
• ${\prod }_{k=1}^n{b}_k=b_1\cdot b_2\cdots b_n$ \(\prod_{k=1}^nb_k=b_1\cdot b_2\cdots b_n\)
• ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ \(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

Limites

• $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\)
• ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=L$ \(\lim_{n\to \infty}x_n=L\)
• ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{x}_n$ \(\limsup_{n\to \infty}x_n\)
• ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$ \(\lim_{n\to \infty}\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n\)
• ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1+\frac{1}{n}}{n}{)}^n$ \(\lim_{n\to \infty}\Bigl(1+\frac{1+\frac{1}{n}}{n}\Bigr)^n\)
• $\forall \epsilon >0,\exists N$ \(\forall\epsilon\gt 0, \exists N\)
• $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$ tel que $0<|x-x_0|⩽\delta \Rightarrow |f(x)-L|⩽\epsilon$. \(\forall \epsilon\gt 0\), \(\exists \delta\gt 0\) tel que \(0\lt |x-x_0|\leq \delta\Rightarrow |f(x)-L|\leq \epsilon\).

Intégration

• Sommes de Darboux: ${\underline{S}}_{\sigma }(f)<{\overline{S}}_{\sigma }(f)$ \(\underline{S}_\sigma(f)\lt \overline{S}_\sigma(f)\)
• Théorème Fondamental:
  $$A^{\prime }(x)={\left({\int }_a^{x}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(x)$$
  \[A'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)'=f(x)\]
  $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){|}_{x=a}^{x=b}$$
  \[ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)\Big|_{x=a}^{x=b} \]

Quelques symboles pour l’Algèbre linéaire

• Vecteurs:
  $$\vec{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$
  latex

  \[
  \vec{x}=
  \begin{pmatrix}
  x_1\\ x_2\\ x_3
  \end{pmatrix}
  \]
  

• Matrices:
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 2\\ 3& 4& 7\end{array}\right)$$
  latex

  \[
  \begin{pmatrix}
  1&2&3\\
  -1&0&2\\
  3&4&7
  \end{pmatrix}
  \]
  

• Systèmes linéaires:
  $$\{\begin{array}{ccccccc}{x}_1& -& 5x_2& +& 2x_3& =& 3\\ 7x_1& +& x_2& +& x_3& =& 6\end{array}$$
  latex

  \[
  \left\{
  \begin{array}{ccccccc}
  x_1 &-& 5x_2 &+& 2x_3 &=&3 \\
  7x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=&6
  \end{array}
  \right.
  \]