À propos des différents modes d'enseignement

On discute ici de la nouveauté que représente la classe inversée, en commençant par rappeler en quoi consiste l’enseignement classique, dit aussi ex cathedra , encore le plus répandu dans les universités, à l’EPFL en particulier.

Enseignement classique

Cet enseignement correspond grosso modo à ce qu’on imagine être un “cours”: l’enseignant.e parle, les étudiant.es écoutent. Plus précisément (c’est mon point de vue, à propos des cours donné aux grandes classes de l’EPFL):

Dans un auditoire, les étudiant.es sont tournés vers l’enseignant.e. Pendant le cours, il/elle parle, écrit au tableau, et les étudiant.es écoutent, peuvent prendre des notes. Les questions sont bienvenues, mais rares puisque personne n’ose en poser. Quelques étudiant.es (de l’ordre de $2%$ ) posent des questions à la pause, mais la grande majorité ne demande jamais rien.
À la séance d’exercices, les étudiant.es peinent sur des exercices portant sur la matière qu’ils commencent à peine à assimiler, et avancent comme ils peuvent, l’aide des assistant.e.s étant primordiale.
Un forum de discussion est à disposition, et permet aux étudiant.es de poser des questions à tout moment pendant le semestre, de manière anonyme.

Les avantages du système classique:

Les cours sont à horaire fixe, donc ça aide à structurer sa semaine et son travail.
C’est agréable d’avoir quelqu’un qui nous raconte des choses “prémâchées”. Même si on ne comprend pas tout tout de suite, on retient toujours un petit quelque chose. On comprend mieux plus tard en relisant ses notes ou en discutant avec des collègues.
Le côté social est sympa: ça permet de voir les copains et copines, éventuellement de boire le café avant ou après le cours.
Ça permet de voir l’enseignant.e (hé oui!), qui a sa façon de présenter les choses et fait parfois des commentaires ou des remarques qu’on ne trouve pas dans les livres.
Quand on discute avec les assistant.e.s, on peut leur poser toutes les questions qu’on veut, ce qui inclut les questions informelles qui ne portent pas forcément sur le cours ou les exercices.

Les désavantages du système classique:

Il confère, par défaut, un rôle passif aux étudiant.es, au lieu de les encourager à aller lui/elle-même à la recherche des informations.
C’est à horaire fixé, donc faut y être sinon on rate un cours! Il faudra ensuite le rattraper, en demandant les notes de quelqu’un, ou alors, si l’enseignant.e fournit les enregistrements, il faudra trouver un moment pour les regarder, ce qui prend en général plus de temps (si on veut le faire comme il faut) que de juste suivre un cours.
Si l’enseignant.e va trop vite, et qu’on veut prendre des notes, on n’a pas le temps d’écouter les commentaires additionnels qu’il fait. Donc on ne profite pas vraiment de la présence de l’enseignant.
Si l’enseignant.e va trop lentement, ou s’il/elle parle sur un ton monotone qui donne envie de dormir, si la leçon du jour porte sur de la matière qu’on a l’impression de déjà bien connaître, alors on se dit qu’on perd son temps assis sur cette chaise, et qu’on aurait pu lire ça tout.e seul.e.
Si l’enseignant ne fournit pas de notes de cours, s’il n’utilise pas un texte de référence, ou s’il ne disponibilise pas les enregistrements de ses cours, alors on est obligé de prendre des notes, ou alors de demander à quelqu’un de nous passer les siennes.
Si il y a quelque chose qu’on ne comprend pas bien sur le moment, on aimerait bien lever la main mais devant $> 200$ personnes on a toujours peur que notre question soit trop bête. (Grave erreur!)
Le contact avec les assistant.e.s, c’est une seule fois par semaine pendant la séance d’exercices, donc faut vraiment en profiter. Et comme tout le monde en a besoin, ils sont très solicités, et on reste parfois longtemps la main levée avant d’avoir enfin de l’aide.

Même si ce format “classique” d’enseignement semble placer le contact humain au premier plan, en mettant l’enseignant.e et sa classe dans un même espace physique trois fois (!) par semaine, le vrai potentiel de l’enseignant.e est généralement sous-utilisé, puisqu’il a assez peu de contact avec ses étudiant.es.

Dans mes grandes classes, j’estime qu’environ

80%

de mes étudiant.es ne m’ont pas adressé une seule fois la parole.

Principe de la classe inversée

Par opposition à l’enseignement classique, le fonctionnement d’une classe inversée (Wiki) repose sur le principe suivant: la matière n’est plus présentée systématiquement devant un parterre passif d’étudiant.e.s, puisque ceux/celles-ci étudient la théorie avant la rencontre avec l’enseignant.e. Elles et ils viennent ensuite au contact de l’enseignant.e et de ses assistant.e.s, pour poser des questions sur la matière et les exercices.

Le système inversé représente un changement radical, puisqu’il suppose que la prise de contact avec le sujet du cours précède la rencontre avec l’enseignant.e:

Les avantages, pour commencer:

L’étudiant.e est libéré de la présence en auditoire à horaire fixe, lui donnant la liberté de s’organiser comme il/elle l’entend pour découvrir la matière théorique à son rythme, en utilisant le matériel fourni par l’enseignant.e.
L’enseignant.e s’appuie sur son matériel disponible à tout instant, et l’épargne de devoir déballer toute la matière au tableau chaque semaine. Il/elle peut ainsi se concentrer sur l’aide fournie à ses étudiant.es, en accompagnant leurs difficultés.

Ces avantages ont un prix, puisque le système donne des responsabilités aux deux parties:

S’il a une plus grande liberté, l’étudiant.e doit savoir la gérer: il/elle devra avoir la rigueur d’organiser son temps pour se dédier à l’étude du matériel didactique fourni.
Pour garantir que le système fonctionne, l’enseignant.e se doit fournir un matériel varié (en termes de texte, audio et vidéo), et une assistance efficace permettant d’aider ses étudiant.e.s dans leur assimilation du matériel. Ceci inclura en particulier la mise en place d’un système en ligne pour les questions/réponses.

Sur les classes inversées à l’EPFL

Les classes inversées existantes à l’EPFL (Analyse 1, d’Algèbre Linéaire, Physique, ICS, etc.) ont fait leurs preuves, et ont montré que les résultats finaux obtenus aux examens sont équivalents à ceux des classes normales.

Pour plus d’informations:

Revenons à la question posée précédemment: si l’équation

x^{2} = 2

ne possède pas de solution dans

Q

, en possède-t-elle une dans

R

Montrer qu’il existe effectivement un

x \in R

tel que

x^{2} = 2

, “directement” est trop difficile. On fait donc un petit détour, en commençant par définir l’ensemble

A := {x \in R_{+} : x^{2} < 2} .

Remarquons que par exemple

0 \in A

, ou encore

1 \in A

, et donc

A

n’est pas vide.

Lemme 1.3.

A

n’a pas d’élément maximal.

Proof

Il s’agit de montrer que pour tout élément

x \in A

, il existe toujours un

x^{'} \in A

qui est strictement plus grand que

x

.
Cherchons un

x^{'}

de la forme

x^{'} = x + \frac{1}{n}

, avec

n \in N^{*}

. Dans ce cas,

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} .

Puisque

n ⩾ 1

, on peut majorer:

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{n}

. Ainsi,

x^{' 2} ⩽ x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} .

Puisqu’on veut

x^{'} \in A

, c’est-à-dire

x^{' 2} < 2

, imposons

x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < 2,

qui est équivalente à

n > \frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}} .

Le membre de droite est bien défini et positif puisque

2 - x^{2} > 0

. Et un

n

satisfaisant à cette propriété existe toujours puisque, quelle que soit la valeur de

\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}

, il existe toujours un

n

plus grand que ce nombre (ceci découle du fait que

N

n’est pas majoré). Si on prend un tel

n

, on a donc

x^{'} = x + \frac{1}{n} > x

, et

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} < x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < x^{2} + \frac{2 x + 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}} = 2 .

Ceci montre que

A

n’a pas d’élément maximal.

□

Ensuite, remarquons que

A

est majoré:

x ⩽ 3

pour tout

x \in A

. En effet, si

x > 3

, alors

x^{2} > 9 > 2

, et donc

x \neq \in A

.
On peut maintenant considérer le réel défini comme le supremum de

A

s := sup A .

Théorème 1.1.

Le nombre

s

défini ci-dessus satisfait

s^{2} = 2

Proof

Si on avait

s \in A

, cela impliquerait que

s

est un élément maximal pour

A

. Comme on vient de voir que

A

ne possède pas d’élément maximal, on en déduit que

s \neq \in A

, et donc que

s^{2} ⩾ 2 .

Nous allons maintenant montrer que

s^{2} ⩽ 2 .

Pour ce faire, commençons par définir le réel

M := \frac{2 + s ^{2}}{2 s}

et montrons que

M

majore

A

. En effet, observons que si

x > M

, alors

x^{2} = (s + (x - s))^{2} = s^{2} + 2 s (x - s) + ⩾ 0 (x - s)^{2} ⩾ s^{2} + 2 s (x - s) > s^{2} + 2 s (M - s) = s^{2} + 2 s (\frac{2 + s ^{2}}{2 s} - s) = 2,

et donc

x \neq \in A

. Ceci implique que si

x \in A

, alors

x ⩽ M

; donc

M

majore

A

. Mais, comme

s

est par définition le plus petit majorant de

A

, on a que

s ⩽ M

, c’est-à-dire

s ⩽ \frac{2 + s ^{2}}{2 s},

qui est équivalente à

s^{2} ⩽ 2

.
Comme

s^{2}

est à la fois

⩾ 2

⩽ 2

, ceci implique

s^{2} = 2

□

Le nombre

s

est appelé racine carrée de deux, et est noté

s = 2 .

Puisque

2 \in R

mais

2 \neq \in Q

comme on a vu,

2

est par définition irrationnel.

1.7.1 La fonction “racine”

On peut, en utilisant la même idée que celle présentée dans la preuve de la section précédente, montrer que pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{2} = y

possède une solution dans

R_{+}

Cette analyse montre que la fonction

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2}

et une surjection. On montre ici que c’est également une injection, et donc que cette fonction est une bijection.
Si

y ⩾ 0

, l’unique

x ⩾ 0

tel que

x^{2} = y

se note

x = y

, et se nomme racine carrée de $y$ . Toute la fonction réciproque s’appelle la fonction racine carrée:

f^{- 1} : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x

Comme on sait, son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Remarque 1.4.

La méthode se généralise, et permet de montrer que pour tout

n \in N^{*}

, et pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{n} = y

possède une unique solution dans

R_{+}

. Celle-ci se note

n y

et se nomme racine $n$ -ème de $y$ .

L’utilisation de la notion de supremum/infimum, pour construire la racine carrée ci-dessus, n’est évidemment qu’un exemple de ce que l’on peut faire dans les réels. Comme on verra dans la suite, l’utilisation de ces notions sera utilisée constamment, et fournira un socle sur lequel toute l’analyse réelle pourra être construite.

Quiz 1.7.1.Pour montrer que dans

R_{+}

, l’équation “

x^{2} = 2

” possède une solution...

Quiz 1.7.2.Vrai ou faux?

Analyse I / FLIPPED

À propos des différents modes d’enseignement

Enseignement classique

Principe de la classe inversée

Sur les classes inversées à l’EPFL

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$

1.7.1 La fonction “racine”

À propos des différents modes d’enseignement

Enseignement classique

Principe de la classe inversée

Sur les classes inversées à l’EPFL

1.7 Solutions de x2=2

1.7.1 La fonction “racine”

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$