Analyse I / FLIPPED

EPFL Botafogo

À propos des différents modes d’enseignement

On discute ici de la nouveauté que représente la classe inversée, en commençant par rappeler en quoi consiste l’enseignement classique, dit aussi ex cathedra , encore le plus répandu dans les universités, à l’EPFL en particulier.

Enseignement classique

Cet enseignement correspond grosso modo à ce qu’on imagine être un “cours”: l’enseignant.e parle, les étudiant.es écoutent. Plus précisément (c’est mon point de vue, à propos des cours donné aux grandes classes de l’EPFL):
  • Dans un auditoire, les étudiant.es sont tournés vers l’enseignant.e. Pendant le cours, il/elle parle, écrit au tableau, et les étudiant.es écoutent, peuvent prendre des notes. Les questions sont bienvenues, mais rares puisque personne n’ose en poser. Quelques étudiant.es (de l’ordre de ) posent des questions à la pause, mais la grande majorité ne demande jamais rien.
  • À la séance d’exercices, les étudiant.es peinent sur des exercices portant sur la matière qu’ils commencent à peine à assimiler, et avancent comme ils peuvent, l’aide des assistant.e.s étant primordiale.
  • Un forum de discussion est à disposition, et permet aux étudiant.es de poser des questions à tout moment pendant le semestre, de manière anonyme.
Les avantages du système classique:
  • Les cours sont à horaire fixe, donc ça aide à structurer sa semaine et son travail.
  • C’est agréable d’avoir quelqu’un qui nous raconte des choses “prémâchées”. Même si on ne comprend pas tout tout de suite, on retient toujours un petit quelque chose. On comprend mieux plus tard en relisant ses notes ou en discutant avec des collègues.
  • Le côté social est sympa: ça permet de voir les copains et copines, éventuellement de boire le café avant ou après le cours.
  • Ça permet de voir l’enseignant.e (hé oui!), qui a sa façon de présenter les choses et fait parfois des commentaires ou des remarques qu’on ne trouve pas dans les livres.
  • Quand on discute avec les assistant.e.s, on peut leur poser toutes les questions qu’on veut, ce qui inclut les questions informelles qui ne portent pas forcément sur le cours ou les exercices.
Les désavantages du système classique:
  • Il confère, par défaut, un rôle passif aux étudiant.es, au lieu de les encourager à aller lui/elle-même à la recherche des informations.
  • C’est à horaire fixé, donc faut y être sinon on rate un cours! Il faudra ensuite le rattraper, en demandant les notes de quelqu’un, ou alors, si l’enseignant.e fournit les enregistrements, il faudra trouver un moment pour les regarder, ce qui prend en général plus de temps (si on veut le faire comme il faut) que de juste suivre un cours.
  • Si l’enseignant.e va trop vite, et qu’on veut prendre des notes, on n’a pas le temps d’écouter les commentaires additionnels qu’il fait. Donc on ne profite pas vraiment de la présence de l’enseignant.
  • Si l’enseignant.e va trop lentement, ou s’il/elle parle sur un ton monotone qui donne envie de dormir, si la leçon du jour porte sur de la matière qu’on a l’impression de déjà bien connaître, alors on se dit qu’on perd son temps assis sur cette chaise, et qu’on aurait pu lire ça tout.e seul.e.
  • Si l’enseignant ne fournit pas de notes de cours, s’il n’utilise pas un texte de référence, ou s’il ne disponibilise pas les enregistrements de ses cours, alors on est obligé de prendre des notes, ou alors de demander à quelqu’un de nous passer les siennes.
  • Si il y a quelque chose qu’on ne comprend pas bien sur le moment, on aimerait bien lever la main mais devant personnes on a toujours peur que notre question soit trop bête. (Grave erreur!)
  • Le contact avec les assistant.e.s, c’est une seule fois par semaine pendant la séance d’exercices, donc faut vraiment en profiter. Et comme tout le monde en a besoin, ils sont très solicités, et on reste parfois longtemps la main levée avant d’avoir enfin de l’aide.
Même si ce format “classique” d’enseignement semble placer le contact humain au premier plan, en mettant l’enseignant.e et sa classe dans un même espace physique trois fois (!) par semaine, le vrai potentiel de l’enseignant.e est généralement sous-utilisé, puisqu’il a assez peu de contact avec ses étudiant.es.
Dans mes grandes classes, j’estime qu’environ de mes étudiant.es ne m’ont pas adressé une seule fois la parole.

Principe de la classe inversée

Par opposition à l’enseignement classique, le fonctionnement d’une classe inversée (Wiki) repose sur le principe suivant: la matière n’est plus présentée systématiquement devant un parterre passif d’étudiant.e.s, puisque ceux/celles-ci étudient la théorie avant la rencontre avec l’enseignant.e. Elles et ils viennent ensuite au contact de l’enseignant.e et de ses assistant.e.s, pour poser des questions sur la matière et les exercices.
Le système inversé représente un changement radical, puisqu’il suppose que la prise de contact avec le sujet du cours précède la rencontre avec l’enseignant.e:
Les avantages, pour commencer:
  • L’étudiant.e est libéré de la présence en auditoire à horaire fixe, lui donnant la liberté de s’organiser comme il/elle l’entend pour découvrir la matière théorique à son rythme, en utilisant le matériel fourni par l’enseignant.e.
  • L’enseignant.e s’appuie sur son matériel disponible à tout instant, et l’épargne de devoir déballer toute la matière au tableau chaque semaine. Il/elle peut ainsi se concentrer sur l’aide fournie à ses étudiant.es, en accompagnant leurs difficultés.
Ces avantages ont un prix, puisque le système donne des responsabilités aux deux parties:
  • S’il a une plus grande liberté, l’étudiant.e doit savoir la gérer: il/elle devra avoir la rigueur d’organiser son temps pour se dédier à l’étude du matériel didactique fourni.
  • Pour garantir que le système fonctionne, l’enseignant.e se doit fournir un matériel varié (en termes de texte, audio et vidéo), et une assistance efficace permettant d’aider ses étudiant.e.s dans leur assimilation du matériel. Ceci inclura en particulier la mise en place d’un système en ligne pour les questions/réponses.

Sur les classes inversées à l’EPFL

Les classes inversées existantes à l’EPFL (Analyse 1, d’Algèbre Linéaire, Physique, ICS, etc.) ont fait leurs preuves, et ont montré que les résultats finaux obtenus aux examens sont équivalents à ceux des classes normales.
Pour plus d’informations:
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1.6 Supremum et infimum

Ici, nous introduirons la propriété cruciale qui différencie les réels des rationnels. En particulier, nous verrons comment cette propriété permet de garantir que dans , l’équation possède bel et bien une solution.
Avant de commencer, il nous faut introduire un peu de terminologie.

1.6.1 Minimum, maximum

L’ordre introduit plus haut sur permet de distinguer certains éléments d’un sous-ensemble de .
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Définition 1.2.
Soit un sous-ensemble non-vide de .
  • Un élément est dit maximal si . On dit aussi que est le maximum de , et on note: .
  • Un élément est dit minimal si . On dit aussi que est le minimum de , et on note: .
Exemple 1.4.
On réalise que quand un ensemble contient un nombre fini d’éléments, alors il possède toujours un minimum et un maximum. En d’autres termes, une liste finie de nombres contient toujours un plus grand et un plus petit élément. Par contre, lorsque l’ensemble possède un nombre infini d’éléments, l’existence d’un minimum ou maximum n’est plus garantie.
Exemple 1.5.
Vu comme sous-ensemble des réels, l’ensemble des entiers possède un élément minimal, , mais il ne possède pas d’élément maximal.
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Exemple 1.6.
Considérons l’ensemble (la couleur, c’est juste pour voir l’ensemble sur le dessin du dessous) de tous les nombres de la forme , où est un entier: Clairement, possède un élément maximal: . En effet, pour tout , et de plus :
Par contre, ne possède pas de minimum. En effet, aucun élément de n’est plus petit que les autres.
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Exemple 1.7.
Soit . D’abord, possède un minimum, donné par . (En effet, pour tout , et .) Par contre, n’a pas de maximum. En effet, pour tout , il existe toujours un autre élément tel que . On peut par exemple prendre , qui est le point milieu entre et :
Donc aucun élément de n’est maximal.
Exemple 1.8.
Considérons le sous-ensemble de : Par définition, est composé de tous les rationnels , tels que . On a donc, par exemple, , , , etc.
n’a pas de minimum puisque pour tout entier , et n’a pas de maximum non plus puisque pour tout , on a aussi

1.6.2 Majorants, minorants

Définition 1.3.
Soit .
  1. est majoré si il existe tel que pour tout ; on dit qu’un tel majore , ou que c’est un majorant pour .
  2. est minoré si il existe tel que pour tout ; on dit qu’un tel minore , ou que c’est un minorant pour .
  3. Si est à la fois majoré et minoré, il est borné.
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Exemple 1.9.
est majoré; , sont des majorants. En fait, n’importe quel majore .
Par contre, n’est pas un majorant; en effet, si on prend par exemple le point , alors , et . est aussi minoré: n’importe quel réel minore .
Informel 1.2.Un ensemble est borné si et seulement si il peut être “rangé dans une boîte”, c’est-à-dire placé à l’intérieur d’un intervalle , où et sont des nombres finis.
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Exemple 1.10.
Vus comme sous-ensembles de ,
  • est minoré puisque pour tout . Par contre n’est pas majoré. En effet, pour tout , il existe un tel que . Nous utiliserons ceci constamment par la suite.
  • n’est ni minoré, ni majoré.

1.6.3 Supremum, infimum

Passons maintenant à la notion essentielle de ce chapitre sur les réels:
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Définition 1.4.
Soit un ensemble non-vide.
Un réel est appelé borne supérieure (ou supremum) de si
  1. majore (c.-à-d. que pour tout ),
  2. est le plus petit majorant de (c.-à-d. que pour tout , il existe tel que ).
Si est supremum de , on le note .
Un réel est appelé borne inférieure (ou infimum) de si
  1. minore (c.-à-d. que pour tout ),
  2. est le plus grand minorant de (c.-à-d. que pour tout , il existe tel que ).
Si est l’infimum de , on le note .
Remarque 1.3.
Il est clair que
  • Si possède un élément maximal, alors .
  • Si possède un élément minimal, alors .
Mais en général, le maximum et le minimum peuvent ne pas exister, alors que le supremum et l’infimum comme on verra, existent toujours dans les réels.
On reformulera souvent la deuxième condition, dans le supremum par exemple, en disant que pour tout il existe un tel que
Informel 1.3.(Interprétation “physique” de l’infimum et du supremum pour un ensemble borné.) On a dit qu’un ensemble borné peut toujours être “rangé dans une boîte” . Et bien parmi toutes les boîtes qui contienne , la plus petite est celle pour laquelle et .
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Exemple 1.11.
Reprenons l’ensemble de tout à l’heure: Puisque et que tout est plus petit ou égal à , est l’élément maximal de , et .
Vérifions maintenant que . D’abord, minore puisque tout nombre de la forme est plus grand ou égal à . Pour montrer que est le plus grand minorant, considérons un nombre quelconque , et montrons que n’est pas un minorant pour . En effet, si , alors il existe un entier tel que , ce qui est équivalent à . Or comme , ceci montre que minore pas .
On a donc bien montré que est le plus grand minorant: .
Exemple 1.12.
Soit encore . On a vu que n’a pas de maximum; montrons maintenant que .
  1. Premièrement, on a pour tout , donc est majoré par .
  2. Deuxièmement, si , alors il existe tel que . En effet, si , n’importe quel suffit. Sinon, si , on peut par exemple prendre .
Ensuite, on a . En effet, est le plus grand minorant:
  1. pour tout , et
  2. pour tout , il existe un tel que

1.6.4 La différence entre et

Passons à l’axiome qui confère à une propriété qui permet de l’utiliser pour faire de l’analyse: Dans ,
  • tout ensemble non-vide majoré possède un supremum,
  • tout ensemble non-vide minoré possède un infimum.
Pour des ensembles qui ne sont pas bornés, la convention suivante est parfois adoptée (ce n’est qu’une notation):
  • Si n’est pas majoré, .
  • Si n’est pas minoré, .
Exemple 1.13.
Calculons l’infimum/supremum de l’ensemble Remarquons pour commencer que Comme on veut , on doit se restreindre à , ce qui donne On a donc , et comme cet ensemble n’est pas majoré, .
Quiz 1.6.1.Soit un ensemble non vide. Si ne majore pas , cela signifie
Quiz 1.6.2.Soit un ensemble non-vide majoré. Si , cela signifie que
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