À propos des différents modes d'enseignement

On discute ici de la nouveauté que représente la classe inversée, en commençant par rappeler en quoi consiste l’enseignement classique, dit aussi ex cathedra , encore le plus répandu dans les universités, à l’EPFL en particulier.

Enseignement classique

Cet enseignement correspond grosso modo à ce qu’on imagine être un “cours”: l’enseignant.e parle, les étudiant.es écoutent. Plus précisément (c’est mon point de vue, à propos des cours donné aux grandes classes de l’EPFL):

Dans un auditoire, les étudiant.es sont tournés vers l’enseignant.e. Pendant le cours, il/elle parle, écrit au tableau, et les étudiant.es écoutent, peuvent prendre des notes. Les questions sont bienvenues, mais rares puisque personne n’ose en poser. Quelques étudiant.es (de l’ordre de $2%$ ) posent des questions à la pause, mais la grande majorité ne demande jamais rien.
À la séance d’exercices, les étudiant.es peinent sur des exercices portant sur la matière qu’ils commencent à peine à assimiler, et avancent comme ils peuvent, l’aide des assistant.e.s étant primordiale.
Un forum de discussion est à disposition, et permet aux étudiant.es de poser des questions à tout moment pendant le semestre, de manière anonyme.

Les avantages du système classique:

Les cours sont à horaire fixe, donc ça aide à structurer sa semaine et son travail.
C’est agréable d’avoir quelqu’un qui nous raconte des choses “prémâchées”. Même si on ne comprend pas tout tout de suite, on retient toujours un petit quelque chose. On comprend mieux plus tard en relisant ses notes ou en discutant avec des collègues.
Le côté social est sympa: ça permet de voir les copains et copines, éventuellement de boire le café avant ou après le cours.
Ça permet de voir l’enseignant.e (hé oui!), qui a sa façon de présenter les choses et fait parfois des commentaires ou des remarques qu’on ne trouve pas dans les livres.
Quand on discute avec les assistant.e.s, on peut leur poser toutes les questions qu’on veut, ce qui inclut les questions informelles qui ne portent pas forcément sur le cours ou les exercices.

Les désavantages du système classique:

Il confère, par défaut, un rôle passif aux étudiant.es, au lieu de les encourager à aller lui/elle-même à la recherche des informations.
C’est à horaire fixé, donc faut y être sinon on rate un cours! Il faudra ensuite le rattraper, en demandant les notes de quelqu’un, ou alors, si l’enseignant.e fournit les enregistrements, il faudra trouver un moment pour les regarder, ce qui prend en général plus de temps (si on veut le faire comme il faut) que de juste suivre un cours.
Si l’enseignant.e va trop vite, et qu’on veut prendre des notes, on n’a pas le temps d’écouter les commentaires additionnels qu’il fait. Donc on ne profite pas vraiment de la présence de l’enseignant.
Si l’enseignant.e va trop lentement, ou s’il/elle parle sur un ton monotone qui donne envie de dormir, si la leçon du jour porte sur de la matière qu’on a l’impression de déjà bien connaître, alors on se dit qu’on perd son temps assis sur cette chaise, et qu’on aurait pu lire ça tout.e seul.e.
Si l’enseignant ne fournit pas de notes de cours, s’il n’utilise pas un texte de référence, ou s’il ne disponibilise pas les enregistrements de ses cours, alors on est obligé de prendre des notes, ou alors de demander à quelqu’un de nous passer les siennes.
Si il y a quelque chose qu’on ne comprend pas bien sur le moment, on aimerait bien lever la main mais devant $> 200$ personnes on a toujours peur que notre question soit trop bête. (Grave erreur!)
Le contact avec les assistant.e.s, c’est une seule fois par semaine pendant la séance d’exercices, donc faut vraiment en profiter. Et comme tout le monde en a besoin, ils sont très solicités, et on reste parfois longtemps la main levée avant d’avoir enfin de l’aide.

Même si ce format “classique” d’enseignement semble placer le contact humain au premier plan, en mettant l’enseignant.e et sa classe dans un même espace physique trois fois (!) par semaine, le vrai potentiel de l’enseignant.e est généralement sous-utilisé, puisqu’il a assez peu de contact avec ses étudiant.es.

Dans mes grandes classes, j’estime qu’environ

80%

de mes étudiant.es ne m’ont pas adressé une seule fois la parole.

Principe de la classe inversée

Par opposition à l’enseignement classique, le fonctionnement d’une classe inversée (Wiki) repose sur le principe suivant: la matière n’est plus présentée systématiquement devant un parterre passif d’étudiant.e.s, puisque ceux/celles-ci étudient la théorie avant la rencontre avec l’enseignant.e. Elles et ils viennent ensuite au contact de l’enseignant.e et de ses assistant.e.s, pour poser des questions sur la matière et les exercices.

Le système inversé représente un changement radical, puisqu’il suppose que la prise de contact avec le sujet du cours précède la rencontre avec l’enseignant.e:

Les avantages, pour commencer:

L’étudiant.e est libéré de la présence en auditoire à horaire fixe, lui donnant la liberté de s’organiser comme il/elle l’entend pour découvrir la matière théorique à son rythme, en utilisant le matériel fourni par l’enseignant.e.
L’enseignant.e s’appuie sur son matériel disponible à tout instant, et l’épargne de devoir déballer toute la matière au tableau chaque semaine. Il/elle peut ainsi se concentrer sur l’aide fournie à ses étudiant.es, en accompagnant leurs difficultés.

Ces avantages ont un prix, puisque le système donne des responsabilités aux deux parties:

S’il a une plus grande liberté, l’étudiant.e doit savoir la gérer: il/elle devra avoir la rigueur d’organiser son temps pour se dédier à l’étude du matériel didactique fourni.
Pour garantir que le système fonctionne, l’enseignant.e se doit fournir un matériel varié (en termes de texte, audio et vidéo), et une assistance efficace permettant d’aider ses étudiant.e.s dans leur assimilation du matériel. Ceci inclura en particulier la mise en place d’un système en ligne pour les questions/réponses.

Sur les classes inversées à l’EPFL

Les classes inversées existantes à l’EPFL (Analyse 1, d’Algèbre Linéaire, Physique, ICS, etc.) ont fait leurs preuves, et ont montré que les résultats finaux obtenus aux examens sont équivalents à ceux des classes normales.

Pour plus d’informations:

On se représente souvent l’ensemble des nombres réels, noté

R

, comme tous les points d’une droite:

Même si cette image est utile pour l’intuition (en particulier pour se représenter des distances ou comparer des grandeurs), elle ne constitue évidemment pas une définition rigoureuse. En particulier, elle n’exprime pas le fait que les réels se prêtent bien au calcul, à savoir à la manipulation abstraite de quantités, qu’elles soient positives ou négatives, petites ou grandes.
De plus, les concepts fondamentaux de l’analyse (limite, continuité, dérivabilité, intégrabilité) se définissent précisément à l’aide de quelques notions simples qui utilisent toute la structure des réels.
Donc avant de commencer à présenter l’analyse à proprement parler, on se doit de définir quelles sont exactement les propriétés qui caractérisent

R

. On listera en particulier les règles de calcul qui donneront aux réels la structure de ce qu’on appelle un corps.

1.1.1 Nombres et mesures

La construction des nombres commence, en général, avec l’introduction des nombres naturels/entiers, avec lesquels on peut déjà compter (“un mouton, deux moutons, trois moutons, ...”):

N := {0, 1, 2, 3, 4, \dots} .

Puis viennent s’ajouter les entiers relatifs, obtenus à partir de

N

en rajoutant toutes les quantités entières négatives (“il fait froid:

- 15

degrés!”, ou “

3 - 7 = - 4

”):

Z := {\dots, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots} .

L’étape suivante est de considérer en plus toutes les proportions possibles entre deux grandeurs entières (“un demi litre de lait”, “une heure et quart”, “deux tiers des étudiants”,...), pour obtenir les nombres rationnels:

Q = {\frac{p}{q} p, q \in Z, q \neq = 0} .

Les rationnels contiennent

Z

(prendre

q = 1

), donc ils contiennent des nombres arbitrairement grands, et peuvent être utilisés pour décrire des grandeurs astronomiques. Mais ils contiennent aussi des quotients aussi petits que l’on veut (

\frac{1}{10} = 0.1

\frac{1}{100} = 0.01

, etc.), et peuvent donc être utilisés pour décrire des grandeurs atomiques ou subatomiques.

Pourquoi, alors, ne pas se contenter de garder

Q

pour faire de l’analyse?
Même s’il permet a priori de mesurer des grandeurs à toutes les échelles possibles nécessaires de l’univers,

Q

souffre d’un défaut majeur: il ne permet pas de tout mesurer! En effet, beaucoup de grandeurs physiques sont des quantités irrationnelles.
Voyons deux exemples.

1.1.2 Irrationnalité de $2$

L’école Pythagoricienne (env. 500BC) avait observé le fait suivant. Considérons un triangle rectangle dont les deux cathètes ont longueur

1

La longueur de l’hypothénuse est donnée par la solution

x > 0

de l’équation

x^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 .

Lemme 1.1.

Le nombre

x

, solution de l’équation

x^{2} = 2

, est irrationnel.

Proof

On démontre l’affirmation par l’absurde.
Supposons que

x \in Q

, à savoir qu’il existe des entiers

p

q

tels

x

peut s’écrire

x = \frac{p}{q}

. On peut en fait supposer que

p

q

sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun diviseur commun (s’ils ont un diviseur commun, on peut toujours simplifier la fraction).
Mais si

x = \frac{p}{q}

, alors

x^{2} = (\frac{p}{q})^{2} = 2

, c’est-à-dire

p^{2} = 2 q^{2}

, ce qui implique que

p^{2}

est pair (un multiple de

2

), et donc que

p

est pair aussi (exercice!). On peut alors écrire

p

sous la forme

p = 2 e

, où

e

est un entier. Ceci implique également que

q^{2} = \frac{p ^{2}}{2} = 2 e^{2}

, et donc

q

, par le même argument qu’avant, est aussi pair. Ceci implique que

p

q

sont tous deux divisibles par

2

, ce qui représente une contradiction, puisqu’on a supposé que

p

q

n’avaient aucun diviseur commun.

□

Étant irrationnel, l’expansion décimale

2

n’a pas de “fin”, et ne présente aucun motif particulier (pas de périodicité, etc.):

2 = 1.414213562373095048801688724209 \dots

De nos jours, on connaît plus de dix mille milliards de décimales de cette expansion.
“On sait que les nombres de ce genre (en parlant de

2

) ont tourmenté Pythagore et son école presque jusqu’à puisement. Étant accoutumés à des nombres si étranges depuis notre première enfance, nous devons prendre garde à ne pas sous-estimer l’intuition mathématique de ces anciens sages. Leur tourment était hautement honorable. Ils se rendaient compte qu’on ne peut trouver aucune fraction dont le carré soit exactement égal à

2

. On peut en donner des approximations très approchées, comme par exemple

\frac{17}{12}

, dont le carré,

\frac{289}{144}

, est très proche de

\frac{288}{144}

, c’est à dire de

2

. On peut s’approcher encore plus près de

2

en considérant des fractions constituées au moyen de nombres plus grands que

17

12

, mais on n’atteindra jamais exactement

2

. ”

E. Schrödinger, Physique quantique et représentation du monde

1.1.3 Irrationnalité de $π$

Le nombre

π

est défini comme la longueur de la circonférence d’un disque dont le diamètre est égal à

1

Il est surprenant d’apprendre que le développement décimal de ce nombre ne présente pas de régularité apparente:

π = 3.1415926535897932384626433 \dots

On peut facilement trouver des rationnels qui approximent

π

à un niveau essentiellement arbitraire de précision (les décimales en rouge indiquent à partir d’où le rationnel cesse de donner une bonne approximation):

\frac{22}{7} \frac{333}{106} \frac{103993}{33102} = 3.14 285714286... = 3.1415 0943396... = 3.141592653 01... etc.

Pourtant, Johann Heinrich Lambert a montré en 1761 que

π

est irrationnel: il n’existe aucune paire $p, q \in N^{*}$ telle que

π = \frac{p}{q} .

Pour une preuve relativement courte, mais qui requiert beaucoup des notions d’analyse présentées dans ce cours, voir cette vidéo, ou encore celle-ci (les deux présentent la même preuve de l’irrationnalité de

π

, due à Niven).

1.1.4 Sur la construction de $R$

La circonférence du disque et l’hypothénuse du triangle ci-dessus sont loin d’être les seuls irrationnels, donc cette discussion montre que même si

Q

constitue un ensemble de nombres allant des échelles subatomiques à superastronomiques, il ne contient pas tous les nombres nécessaires pour faire de la géométrie élémentaire: les irrationnels sont nécessaires. (Et en fait, dans un sens que nous ne détaillerons pas ici, il y a beaucoup plus d’irrationnels qu’il n’y a de rationnels...)

Il y a donc, dans la construction d’un bon ensemble de nombres permettant de faire de l’analyse, une étape finale, qui consiste à compléter

Q

en lui ajoutant tous les irrationnels pour obtenir

R

. Cette construction est délicate, et nous ne la décrirons pas en détails car elle sortirait du cadre de ce cours.
Mais ce que nous ferons, dans les sections suivantes, sera de définir

R

en listant ses propriétés.
Nous dirons d’abord que c’est, comme

Q

, un ensemble dans lequel on peut faire de l’arithmétique, c’est à dire des calculs à l’aide d’opérations telles que addition et multiplication.
Puis nous exigerons de

R

une propriété additionnelle, naturelle mais délicate à formuler (voir supremum et infimum plus loin), qui le distinguera radicalement de

Q

, et qui nous permettra de commencer à construire l’analyse. (En passant, nous montrerons que dans

R

, l’existence de

2

est bien garantie.)

Ce que nous ne ferons pas, c’est de montrer qu’on peut effectivement construire un ensemble

R

jouissant de toutes ces propriétés. Pour plus de détails sur la construction des réels, je renvoie le lecteur aux livres d’analyse plus avancés. Par exemple: Les nombres irrationnels (Voyage au pays des maths ARTE). Plus élémentaire:

Analyse I / FLIPPED

À propos des différents modes d’enseignement

Enseignement classique

Principe de la classe inversée

Sur les classes inversées à l’EPFL

1.1 Introduction

1.1.1 Nombres et mesures

1.1.2 Irrationnalité de $2$

1.1.3 Irrationnalité de $π$

1.1.4 Sur la construction de $R$

À propos des différents modes d’enseignement

Enseignement classique

Principe de la classe inversée

Sur les classes inversées à l’EPFL

1.1 Introduction

1.1.1 Nombres et mesures

1.1.2 Irrationnalité de 2​

1.1.3 Irrationnalité de π

1.1.4 Sur la construction de R

1.1.2 Irrationnalité de $2$

1.1.3 Irrationnalité de $π$

1.1.4 Sur la construction de $R$