À propos des différents modes d'enseignement

On discute ici de la nouveauté que représente la classe inversée, en commençant par rappeler en quoi consiste l’enseignement classique, dit aussi ex cathedra , encore le plus répandu dans les universités, à l’EPFL en particulier.

Enseignement classique

Cet enseignement correspond grosso modo à ce qu’on imagine être un “cours”: l’enseignant.e parle, les étudiant.es écoutent. Plus précisément (c’est mon point de vue, à propos des cours donné aux grandes classes de l’EPFL):

Dans un auditoire, les étudiant.es sont tournés vers l’enseignant.e. Pendant le cours, il/elle parle, écrit au tableau, et les étudiant.es écoutent, peuvent prendre des notes. Les questions sont bienvenues, mais rares puisque personne n’ose en poser. Quelques étudiant.es (de l’ordre de $2%$ ) posent des questions à la pause, mais la grande majorité ne demande jamais rien.
À la séance d’exercices, les étudiant.es peinent sur des exercices portant sur la matière qu’ils commencent à peine à assimiler, et avancent comme ils peuvent, l’aide des assistant.e.s étant primordiale.
Un forum de discussion est à disposition, et permet aux étudiant.es de poser des questions à tout moment pendant le semestre, de manière anonyme.

Les avantages du système classique:

Les cours sont à horaire fixe, donc ça aide à structurer sa semaine et son travail.
C’est agréable d’avoir quelqu’un qui nous raconte des choses “prémâchées”. Même si on ne comprend pas tout tout de suite, on retient toujours un petit quelque chose. On comprend mieux plus tard en relisant ses notes ou en discutant avec des collègues.
Le côté social est sympa: ça permet de voir les copains et copines, éventuellement de boire le café avant ou après le cours.
Ça permet de voir l’enseignant.e (hé oui!), qui a sa façon de présenter les choses et fait parfois des commentaires ou des remarques qu’on ne trouve pas dans les livres.
Quand on discute avec les assistant.e.s, on peut leur poser toutes les questions qu’on veut, ce qui inclut les questions informelles qui ne portent pas forcément sur le cours ou les exercices.

Les désavantages du système classique:

Il confère, par défaut, un rôle passif aux étudiant.es, au lieu de les encourager à aller lui/elle-même à la recherche des informations.
C’est à horaire fixé, donc faut y être sinon on rate un cours! Il faudra ensuite le rattraper, en demandant les notes de quelqu’un, ou alors, si l’enseignant.e fournit les enregistrements, il faudra trouver un moment pour les regarder, ce qui prend en général plus de temps (si on veut le faire comme il faut) que de juste suivre un cours.
Si l’enseignant.e va trop vite, et qu’on veut prendre des notes, on n’a pas le temps d’écouter les commentaires additionnels qu’il fait. Donc on ne profite pas vraiment de la présence de l’enseignant.
Si l’enseignant.e va trop lentement, ou s’il/elle parle sur un ton monotone qui donne envie de dormir, si la leçon du jour porte sur de la matière qu’on a l’impression de déjà bien connaître, alors on se dit qu’on perd son temps assis sur cette chaise, et qu’on aurait pu lire ça tout.e seul.e.
Si l’enseignant ne fournit pas de notes de cours, s’il n’utilise pas un texte de référence, ou s’il ne disponibilise pas les enregistrements de ses cours, alors on est obligé de prendre des notes, ou alors de demander à quelqu’un de nous passer les siennes.
Si il y a quelque chose qu’on ne comprend pas bien sur le moment, on aimerait bien lever la main mais devant $> 200$ personnes on a toujours peur que notre question soit trop bête. (Grave erreur!)
Le contact avec les assistant.e.s, c’est une seule fois par semaine pendant la séance d’exercices, donc faut vraiment en profiter. Et comme tout le monde en a besoin, ils sont très solicités, et on reste parfois longtemps la main levée avant d’avoir enfin de l’aide.

Même si ce format “classique” d’enseignement semble placer le contact humain au premier plan, en mettant l’enseignant.e et sa classe dans un même espace physique trois fois (!) par semaine, le vrai potentiel de l’enseignant.e est généralement sous-utilisé, puisqu’il a assez peu de contact avec ses étudiant.es.

Dans mes grandes classes, j’estime qu’environ

80%

de mes étudiant.es ne m’ont pas adressé une seule fois la parole.

Principe de la classe inversée

Par opposition à l’enseignement classique, le fonctionnement d’une classe inversée (Wiki) repose sur le principe suivant: la matière n’est plus présentée systématiquement devant un parterre passif d’étudiant.e.s, puisque ceux/celles-ci étudient la théorie avant la rencontre avec l’enseignant.e. Elles et ils viennent ensuite au contact de l’enseignant.e et de ses assistant.e.s, pour poser des questions sur la matière et les exercices.

Le système inversé représente un changement radical, puisqu’il suppose que la prise de contact avec le sujet du cours précède la rencontre avec l’enseignant.e:

Les avantages, pour commencer:

L’étudiant.e est libéré de la présence en auditoire à horaire fixe, lui donnant la liberté de s’organiser comme il/elle l’entend pour découvrir la matière théorique à son rythme, en utilisant le matériel fourni par l’enseignant.e.
L’enseignant.e s’appuie sur son matériel disponible à tout instant, et l’épargne de devoir déballer toute la matière au tableau chaque semaine. Il/elle peut ainsi se concentrer sur l’aide fournie à ses étudiant.es, en accompagnant leurs difficultés.

Ces avantages ont un prix, puisque le système donne des responsabilités aux deux parties:

S’il a une plus grande liberté, l’étudiant.e doit savoir la gérer: il/elle devra avoir la rigueur d’organiser son temps pour se dédier à l’étude du matériel didactique fourni.
Pour garantir que le système fonctionne, l’enseignant.e se doit fournir un matériel varié (en termes de texte, audio et vidéo), et une assistance efficace permettant d’aider ses étudiant.e.s dans leur assimilation du matériel. Ceci inclura en particulier la mise en place d’un système en ligne pour les questions/réponses.

Sur les classes inversées à l’EPFL

Les classes inversées existantes à l’EPFL (Analyse 1, d’Algèbre Linéaire, Physique, ICS, etc.) ont fait leurs preuves, et ont montré que les résultats finaux obtenus aux examens sont équivalents à ceux des classes normales.

Pour plus d’informations:

La méthode de preuve par récurrence (appelée aussi preuve par induction) est une technique de démonstration qui, quand elle s’applique, permet de démontrer une infinité d’affirmations en seulement deux étapes.

Supposons que l’on définisse, pour chaque entier

n ⩾ 1

, une certaine propriété

P (n)

. Pour chaque

n

P (n)

est soit vraie, soit fausse.

Exemple II.17.

Soit

P (n) =

“le nombre entier

n

est divisible par

2

”. Alors

P (1)

est fausse,

P (2)

est vraie,

P (3)

est fausse, etc. Donc on peut tout de suite résoudre tous les cas:

P (n)

est vraie si

n

est pair, fausse si

n

est impair.

En mathématiques, on a souvent besoin de montrer qu’une infinité de propriétés sont vraies simultanément:

P (1)

est vraie,

P (2)

est vraie,

P (3)

est vraie, etc.
Si ces propriétés

P (n)

n’ont rien à voir les unes avec les autres, on n’a d’autre alternative que de les vérifier les unes après les autres.

Exemple II.18.

Supposons qu’un certain univers contienne une infinité de galaxies. Soit

P (n)

la propriété “il existe, dans cet univers, une galaxie dans laquelle on peut trouver exactement

n

planètes sur lesquelles on trouve de la vie”.
Si on fixe un

n

et qu’on se pose la question de savoir si

P (n)

est vraie ou fausse, on n’a qu’un seul moyen d’obtenir la réponse: parcourir tout l’univers jusqu’à trouver une galaxie contenant exactement

n

planètes sur lesquelles on trouve la vie.

Si on a de la chance, on peut espérer étudier la véracité de ces propriétés

P (n)

en profitant de certaines relations pouvant exister entre elles, pour des

n

différents.
Dans le cas de la récurrence, on s’intéresse à une relation entre les paires d’entiers consécutifs,

n

n + 1

, et la relation considérée est la suivante: si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ est vraie aussi.

Exemple II.19.

Dans l’exemple du dessus (galaxies), il n’y a aucune corrélation du genre entre les propriétés

P (n)

pour des

n

différents, puisque savoir que

P (n)

est vraie n’implique pas forcément que

P (n + 1)

soit vraie aussi.

Exemple II.20.

Supposons que l’on ait devant nous une très longue table sur laquelle sont posés une infinité d’ordinateurs, numérotés

1, 2, 3, \dots

. On découvre avec effroi que sur chacun de ces ordinateurs est installé un système opérationnel propriétaire, issu d’une grande compagnie.

On suppose que ces ordinateurs sont tous allumés, et que pour tout

n

, le

n

-ème ordinateur envoie constamment des données non-cryptées vers son voisin

n + 1

. Dans ce cas, il est absolument certain que si l’ordinateur

n

est infecté par un virus, alors l’ordinateur

n + 1

est infecté aussi. En d’autres termes, si on définit la propriété

P (n) =

“le

n

ème ordinateur est infecté par un virus”, on sait que si

P (n)

est vraie, alors

P (n + 1)

est vraie aussi.
Ceci a la conséquence suivante: si un seul de ces ordinateurs est infecté, alors tous les suivants le sont aussi. En particulier, si le premier est infecté, alors tous sont infectés.

La méthode de démonstration par récurrence consiste à donner une démonstration dans laquelle on utilise une structure semblable à celle de ce dernier exemple. On la résume comme suit:
Montrer par récurrence qu’une infinité de propriétés

P (n)

(

n = 1, 2, 3, \dots

) sont vraies, cela consiste

à vérifier que la première propriété $P (1)$ est vraie, (c’est l’initialisation), puis
à vérifier que quel que soit l’indice $n ⩾ 1$ , si $P (n)$ est vraie, alors cela entraîne que $P (n + 1)$ est vraie aussi (c’est le pas d’induction).

Si on peut effectivement vérifier ces deux étapes, alors 1. implique que

P (1)

est vraie, mais alors 2. implique que

P (2)

est vraie aussi, mais alors 2. implique que

P (3)

est vraie aussi, etc. Par ce procédé, on démontre donc bien que

P (n)

est vraie pour tout

n ⩾ 1

Informel II.3.Pour que le pas d’induction ait une chance de fonctionner, il faut évidemment que les propriétés

P (n)

P (n + 1)

puissent être mises en relation, quel que soit

n

! Et là, la difficulté est de travailler avec un

n

quelconque, dont on ne spécifie pas la valeur; dans les situations concrètes, ceci implique en général un calcul littéral, dans lequel on manipule ce

n

inconnu.

Exemple II.21.

Nous allons montrer que pour tout

n \in N^{*}

1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Commençons par nommer les deux membres de l’identité ci-dessus, en posant

a_{n} := 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n, et b_{n} := \frac{n ( n + 1 )}{2} .

Pour un

n

spécifique pas trop grand, on peut toujours le vérifier en calculant la valeur de

a_{n}

, puis celle de

b_{n}

, puis de voir si elles sont égales. Par exemple,

pour $n = 1$ , on a $a_{1} = 1$ et $b_{1} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ , et donc $a_{1} = b_{1}$
pour $n = 2$ , on a $a_{2} = 1 + 2 = 3$ et $b_{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ , et donc $a_{2} = b_{2}$ .

On voit donc que

a_{1} = b_{1}

a_{2} = b_{2}

.
On pourrait continuer à vérifier la relation “

a_{n} = b_{n}

” pour des

n

toujours plus grands, en calculant séparément les nombres

a_{n}

b_{n}

“à la main”, et en vérifiant qu’ils sont effectivement égaux. Mais ceci n’exclut pas qu’il existe un

n

, éventuellement très grand, pour lequel

a_{n} \neq = b_{n}

!
Définissons donc, pour tout

n ⩾ 1

, la propriété

P (n)

comme étant: “pour l’entier

n

, on a

a_{n} = b_{n}

”. Montrons, par récurrence, que

P (n)

est vraie pour tout

n ⩾ 1

Initialisation: on a déjà vérifié plus haut, “à la main”, que $a_{1} = b_{1}$ , et donc on sait que $P (1)$ est vraie.
Pas d’induction: supposons que pour un $n$ donné (dont on n’a pas besoin de spécifier la valeur), $P (n)$ est vraie , c’est-à-dire que l’on a effectivement
$a_{n} = b_{n} .$
Pour montrer que ceci entraîne que $P (n + 1)$ est vraie, on va faire un calcul, à l’issue duquel on obtiendra que $a_{n + 1} = b_{n + 1}$ . Or la structure du problème fait que $a_{n + 1}$ peut être relié à $a_{n}$ . En effet,
$a_{n + 1} = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n + (n + 1) = a_{n} + (n + 1) .$
Mais, puisque l’on est en train de supposer que $a_{n} = b_{n}$ , on peut l’utiliser et faire un peu d’arithmétique:
$a_{n + 1} = b_{n} + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) + 2 ( n + 1 )}{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} .$
Mais puisque
$\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} = \frac{( n + 1 ) (( n + 1 ) + 1 )}{2} = b_{n + 1},$
on a bien montré que $a_{n + 1} = b_{n + 1}$ . Ceci montre que si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ est vraie aussi.

On a donc bien montré que

P (n)

est vraie pour tout

n ⩾ 1

Remarque II.2.

En utilisant la même technique, on peut montrer que pour tout

n \in N

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

En fait il existe des formules semblables pour toute somme du type

1^{k} + 2^{k} + 3^{k} + \dots + n^{k},

où

k ⩾ 1

est un entier. Voir ici (Mathologer) pour plus d’informations.

Exemple II.22.

Posons, pour tout

n ⩾ 1

a_{n} = 1 0^{n} - 1

, et considérons l’affirmation

P (n)

définie par “

a_{n}

est un multiple de

9

”.

Pour $n = 1$ , on a $a_{1} = 1 0^{1} - 1 = 9$ , qui est un multiple de $9$ .
Supposons que $P (n)$ est vraie, c’est-à-dire que $a_{n}$ est un multiple de $9$ . Ceci s’exprime en disant qu’il existe un entier $k$ tel que $a_{n} = 9 k$ . Remarquons alors qu’on peut écrire
$a_{n + 1} = 1 0^{n + 1} - 1 = 10 \cdot 1 0^{n} - 1 = 10 (a_{n} + 1) - 1 = 10 (9 k + 1) - 1 = 9 (=: k^{'} 10 k + 1) .$
Or puisque $k$ est un entier, $k^{'} = 10 k + 1$ est aussi un entier. Donc $a_{n + 1} = 9 k^{'}$ : $a_{n + 1}$ est aussi un multiple de $9$ , et donc $P (n + 1)$ est vraie.

Ceci montre que

P (n)

est vraie pour tout

n ⩾ 1

II.7.1 La formule du binôme de Newton

Rappelons la définition des coefficients binômiaux. Pour un entier

n ⩾ 1

quelconque, et pour tout

1 ⩽ k ⩽ n

(k n) := \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

En combinatoire,

(k n)

compte le nombre de façons d’arranger

k

objets indistingables dans

n

boîtes (un objet par boîte).

Lemme II.3.

(formule du binôme de Newton) Soient

x, y \in R

. Alors pour tout entier

n ⩾ 1

(x + y)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{n - k} y^{k} .

Voir aussi la vidéo de Michael Penn.

Analyse I / FLIPPED

À propos des différents modes d’enseignement

Enseignement classique

Principe de la classe inversée

Sur les classes inversées à l’EPFL

II.7 Preuves par récurrence

II.7.1 La formule du binôme de Newton