Analyse I / FLIPPED

EPFL Botafogo

À propos des différents modes d’enseignement

On discute ici de la nouveauté que représente la classe inversée, en commençant par rappeler en quoi consiste l’enseignement classique, dit aussi ex cathedra , encore le plus répandu dans les universités, à l’EPFL en particulier.

Enseignement classique

Cet enseignement correspond grosso modo à ce qu’on imagine être un “cours”: l’enseignant.e parle, les étudiant.es écoutent. Plus précisément (c’est mon point de vue, à propos des cours donné aux grandes classes de l’EPFL):
  • Dans un auditoire, les étudiant.es sont tournés vers l’enseignant.e. Pendant le cours, il/elle parle, écrit au tableau, et les étudiant.es écoutent, peuvent prendre des notes. Les questions sont bienvenues, mais rares puisque personne n’ose en poser. Quelques étudiant.es (de l’ordre de ) posent des questions à la pause, mais la grande majorité ne demande jamais rien.
  • À la séance d’exercices, les étudiant.es peinent sur des exercices portant sur la matière qu’ils commencent à peine à assimiler, et avancent comme ils peuvent, l’aide des assistant.e.s étant primordiale.
  • Un forum de discussion est à disposition, et permet aux étudiant.es de poser des questions à tout moment pendant le semestre, de manière anonyme.
Les avantages du système classique:
  • Les cours sont à horaire fixe, donc ça aide à structurer sa semaine et son travail.
  • C’est agréable d’avoir quelqu’un qui nous raconte des choses “prémâchées”. Même si on ne comprend pas tout tout de suite, on retient toujours un petit quelque chose. On comprend mieux plus tard en relisant ses notes ou en discutant avec des collègues.
  • Le côté social est sympa: ça permet de voir les copains et copines, éventuellement de boire le café avant ou après le cours.
  • Ça permet de voir l’enseignant.e (hé oui!), qui a sa façon de présenter les choses et fait parfois des commentaires ou des remarques qu’on ne trouve pas dans les livres.
  • Quand on discute avec les assistant.e.s, on peut leur poser toutes les questions qu’on veut, ce qui inclut les questions informelles qui ne portent pas forcément sur le cours ou les exercices.
Les désavantages du système classique:
  • Il confère, par défaut, un rôle passif aux étudiant.es, au lieu de les encourager à aller lui/elle-même à la recherche des informations.
  • C’est à horaire fixé, donc faut y être sinon on rate un cours! Il faudra ensuite le rattraper, en demandant les notes de quelqu’un, ou alors, si l’enseignant.e fournit les enregistrements, il faudra trouver un moment pour les regarder, ce qui prend en général plus de temps (si on veut le faire comme il faut) que de juste suivre un cours.
  • Si l’enseignant.e va trop vite, et qu’on veut prendre des notes, on n’a pas le temps d’écouter les commentaires additionnels qu’il fait. Donc on ne profite pas vraiment de la présence de l’enseignant.
  • Si l’enseignant.e va trop lentement, ou s’il/elle parle sur un ton monotone qui donne envie de dormir, si la leçon du jour porte sur de la matière qu’on a l’impression de déjà bien connaître, alors on se dit qu’on perd son temps assis sur cette chaise, et qu’on aurait pu lire ça tout.e seul.e.
  • Si l’enseignant ne fournit pas de notes de cours, s’il n’utilise pas un texte de référence, ou s’il ne disponibilise pas les enregistrements de ses cours, alors on est obligé de prendre des notes, ou alors de demander à quelqu’un de nous passer les siennes.
  • Si il y a quelque chose qu’on ne comprend pas bien sur le moment, on aimerait bien lever la main mais devant personnes on a toujours peur que notre question soit trop bête. (Grave erreur!)
  • Le contact avec les assistant.e.s, c’est une seule fois par semaine pendant la séance d’exercices, donc faut vraiment en profiter. Et comme tout le monde en a besoin, ils sont très solicités, et on reste parfois longtemps la main levée avant d’avoir enfin de l’aide.
Même si ce format “classique” d’enseignement semble placer le contact humain au premier plan, en mettant l’enseignant.e et sa classe dans un même espace physique trois fois (!) par semaine, le vrai potentiel de l’enseignant.e est généralement sous-utilisé, puisqu’il a assez peu de contact avec ses étudiant.es.
Dans mes grandes classes, j’estime qu’environ de mes étudiant.es ne m’ont pas adressé une seule fois la parole.

Principe de la classe inversée

Par opposition à l’enseignement classique, le fonctionnement d’une classe inversée (Wiki) repose sur le principe suivant: la matière n’est plus présentée systématiquement devant un parterre passif d’étudiant.e.s, puisque ceux/celles-ci étudient la théorie avant la rencontre avec l’enseignant.e. Elles et ils viennent ensuite au contact de l’enseignant.e et de ses assistant.e.s, pour poser des questions sur la matière et les exercices.
Le système inversé représente un changement radical, puisqu’il suppose que la prise de contact avec le sujet du cours précède la rencontre avec l’enseignant.e:
Les avantages, pour commencer:
  • L’étudiant.e est libéré de la présence en auditoire à horaire fixe, lui donnant la liberté de s’organiser comme il/elle l’entend pour découvrir la matière théorique à son rythme, en utilisant le matériel fourni par l’enseignant.e.
  • L’enseignant.e s’appuie sur son matériel disponible à tout instant, et l’épargne de devoir déballer toute la matière au tableau chaque semaine. Il/elle peut ainsi se concentrer sur l’aide fournie à ses étudiant.es, en accompagnant leurs difficultés.
Ces avantages ont un prix, puisque le système donne des responsabilités aux deux parties:
  • S’il a une plus grande liberté, l’étudiant.e doit savoir la gérer: il/elle devra avoir la rigueur d’organiser son temps pour se dédier à l’étude du matériel didactique fourni.
  • Pour garantir que le système fonctionne, l’enseignant.e se doit fournir un matériel varié (en termes de texte, audio et vidéo), et une assistance efficace permettant d’aider ses étudiant.e.s dans leur assimilation du matériel. Ceci inclura en particulier la mise en place d’un système en ligne pour les questions/réponses.

Sur les classes inversées à l’EPFL

Les classes inversées existantes à l’EPFL (Analyse 1, d’Algèbre Linéaire, Physique, ICS, etc.) ont fait leurs preuves, et ont montré que les résultats finaux obtenus aux examens sont équivalents à ceux des classes normales.
Pour plus d’informations:
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II.2 Fonctions

II.2.1 Notion de fonction

Dans cette section, on rappelle quelques définitions élémentaires relatives à la notion de fonction. Même si dans ce cours on s’intéressera surtout à des fonctions réelles d’une variable réelle, ce que l’on présente ici est très général et s’applique à des situations très diverses, comme par exemple l’étude des applications linéaires en algèbre linéaire.
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Définition II.1.
Soient deux ensembles quelconques non-vides. Une fonction de dans , est une règle qui associe à chaque élément un (et un seul) élément , appelé l’image de (par ), et on écrit On dit alors que est une préimage (ou un antécédent) de .
Lorsque est associé à , on pourra penser à cette association comme à une “flèche de vers ”. En termes de flèches, une fonction de dans est donc bien définie une fois que l’on a, pour chaque , exactement une flèche reliant ce à un (et un seul) . En particulier, il ne peut pas y avoir deux flèches sortant d’un .
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Pour des raisons évidentes, est parfois appelé l’ensemble de départ, et l’ensemble d’arrivée.
Pour bien indiquer l’ensemble de départ et d’arrivée d’une fonction, on écrit
Exemple II.5.
Considérons , , et définissons la fonction comme suit: pour , Ici, et possèdent chacun une infinité de préimages, possède préimages, et ne possède aucune préimage.

II.2.2 Ensemble image

Il est naturel de considérer, pour commencer l’étude d’une fonction, de déterminer quels sont les éléments de l’ensemble d’arrivée qui possèdent au moins une préimage:
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Définition II.2.
L’ensemble image de est défini par
Par la définition de fonction, une flèche sort de chaque ; mais tous les ne sont pas forcément atteints par une flèche. L’ensemble image est donc constitué des éléments de l’ensemble d’arrivée qui sont atteints par au moins une flèche. On peut imaginer obtenu en “balayant” tout avec la variable , et en observant tous les obtenus.
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Exemple II.6.
Soit , , et la fonction définie par: Alors (puisque n’a pas de préimage).

II.2.3 Surjection

Par définition, l’ensemble image d’une fonction est un sous-ensemble de , , et il est naturel de considérer les fonctions pour lesquelles il coïncide exactement avec :
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Définition II.3.
est surjective si , c’est-à-dire si chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins une préimage.
Informel II.1.Une fonction est surjective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par au moins une flèche; en d’autres termes, si les flèches qui partent de “remplissent bien” tout l’ensemble d’arrivée.
Exemple II.7.
La fonction est surjective. En effet, prenons un quelconque. Si on considère , alors donc est antécédent de , et donc .
Exemple II.8.
Soit l’ensemble des étudiant.e.s dans l’auditoire, et soit . Considérons où est le nombre de frères et soeurs de . Pour trouver , on peut procéder comme suit: pour tout , on pose la question: “Qui possède exactement frères et soeurs?” Si au moins une main se lève, c’est que . Dès qu’on a un pour lequel aucune main se lève, c’est que n’est pas surjective. Pour s’assurer facilement que n’est effectivement pas surjective, on peut simplement poser la question: “Est-ce que quelqu’un a plus de frères et soeurs?” Si personne ne lève la main, c’est que . (Si on sonde l’auditoire, on observe probablement quelque chose comme .)
Toute fonction peut être transformée en une fonction surjective, en modifiant simplement son ensemble d’arrivée. En effet, si n’est pas surjective, c’est que son ensemble d’arrivée est “trop grand”: est un sous-ensemble stricte de . On peut alors retirer les éléments de qui ne sont pas dans l’image, et obtenir une fonction surjective. Plus précisément, est surjective.
Exemple II.9.
La fonction n’est pas surjective, puisque si est impair, il ne possède pas de préimage. Ici, , l’ensemble de tous les entiers positifs pairs. En restreignant son ensemble d’arrivée à , on obtient qui est surjective.

II.2.4 Injection

Une deuxième chose naturelle à considérer, pour une fonction donnée, est de savoir si celle-ci sépare les points, c’est-à-dire si des points différents, dans l’ensemble de départ, ont des images différentes:
Définition II.4.
est injective si implique .
Informel II.2.Si la fonction est injective, des flèches qui partent de points différents doivent arriver en des points différents!
Exemple II.10.
Considérons Puisque et , n’est pas injective.
Une caractérisation équivalente de l’injectivité, plus commode à manipuler dans la pratique, est la suivante: est injective si implique .
Exemple II.11.
Montrons que est injective. Pour ce faire, prenons deux éléments , et supposons que , c’est-à-dire Quelques manipulations montrent que cette dernière identité est équivalente à qui n’est vérifiée que si au moins une des parenthèses est nulle. Or la première est nulle si , et puisque , la deuxième ne peut s’annuler que si . Dans tous les cas, on a bien montré que implique , donc est injective.

II.2.5 Bijection

Voyons ce qui se passe lorsqu’une fonction possède en même temps les deux propriétés introduites dans les sections précédentes.
Définition II.5.
Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
L’intérêt d’une fonction bijective est qu’on peut l’inverser, ce qui signifie revenir de l’ensemble image à l’ensemble de départ, sans ambiguïté.
En effet, supposons que est bijective, et fixons un élément quelconque de l’ensemble d’arrivée, .
  1. Comme est surjective, possède au moins une préimage.
  2. Comme est injective, possède au plus une préimage.
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On en déduit que possède exactement une préimage dans l’ensemble de départ: on la note . Avoir associé à tout un unique élément signifie que nous avons défini une fonction de dans . Puisque cette fonction permet d’obtenir l’unique préimage de chaque élément de , on l’appelle la réciproque de : Par définition, la réciproque permet de récupérer la préimage: Mais aussi,
Remarque II.1.
L’utilisation du symbole “”, pour la réciproque, est largement répandue, et nous l’utiliserons, mais elle peut prêter à confusion. En effet, pour des fonctions numériques, ne doit en aucun cas être confondu avec , qui signifie !
Exemple II.12.
Montrons que la fonction est bijective. (On utilise des couleurs uniquement pour distinguer les ensembles de départ et d’arrivée.)
  • Soient . On a
    donc est injective.
  • Soit . Montrons que possède une préimage, à savoir un tel que . En effet, on peut simplement isoler dans “” et trouver . Comme , on a bien trouvé une préimage pour . Donc est surjective.
Maintenant que est bijective, donnons sa réciproque explicitement: L’expression de a en fait été trouvée plus haut: il s’agit d’isoler dans , ce qui donne .
Quiz II.2.1.On considère les ensembles , Quelles règles ci-dessous définissent une fonction ?
Quiz II.2.2.Vrai ou faux? L’ensemble image d’une fonction , c’est
Quiz II.2.3.Vrai ou faux? Si est injective, alors
Quiz II.2.4.Si n’est pas injective, alors
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