Analyse I / FLIPPED

EPFL Botafogo

À propos des différents modes d’enseignement

On discute ici de la nouveauté que représente la classe inversée, en commençant par rappeler en quoi consiste l’enseignement classique, dit aussi ex cathedra , encore le plus répandu dans les universités, à l’EPFL en particulier.

Enseignement classique

Cet enseignement correspond grosso modo à ce qu’on imagine être un “cours”: l’enseignant.e parle, les étudiant.es écoutent. Plus précisément (c’est mon point de vue, à propos des cours donné aux grandes classes de l’EPFL):
  • Dans un auditoire, les étudiant.es sont tournés vers l’enseignant.e. Pendant le cours, il/elle parle, écrit au tableau, et les étudiant.es écoutent, peuvent prendre des notes. Les questions sont bienvenues, mais rares puisque personne n’ose en poser. Quelques étudiant.es (de l’ordre de ) posent des questions à la pause, mais la grande majorité ne demande jamais rien.
  • À la séance d’exercices, les étudiant.es peinent sur des exercices portant sur la matière qu’ils commencent à peine à assimiler, et avancent comme ils peuvent, l’aide des assistant.e.s étant primordiale.
  • Un forum de discussion est à disposition, et permet aux étudiant.es de poser des questions à tout moment pendant le semestre, de manière anonyme.
Les avantages du système classique:
  • Les cours sont à horaire fixe, donc ça aide à structurer sa semaine et son travail.
  • C’est agréable d’avoir quelqu’un qui nous raconte des choses “prémâchées”. Même si on ne comprend pas tout tout de suite, on retient toujours un petit quelque chose. On comprend mieux plus tard en relisant ses notes ou en discutant avec des collègues.
  • Le côté social est sympa: ça permet de voir les copains et copines, éventuellement de boire le café avant ou après le cours.
  • Ça permet de voir l’enseignant.e (hé oui!), qui a sa façon de présenter les choses et fait parfois des commentaires ou des remarques qu’on ne trouve pas dans les livres.
  • Quand on discute avec les assistant.e.s, on peut leur poser toutes les questions qu’on veut, ce qui inclut les questions informelles qui ne portent pas forcément sur le cours ou les exercices.
Les désavantages du système classique:
  • Il confère, par défaut, un rôle passif aux étudiant.es, au lieu de les encourager à aller lui/elle-même à la recherche des informations.
  • C’est à horaire fixé, donc faut y être sinon on rate un cours! Il faudra ensuite le rattraper, en demandant les notes de quelqu’un, ou alors, si l’enseignant.e fournit les enregistrements, il faudra trouver un moment pour les regarder, ce qui prend en général plus de temps (si on veut le faire comme il faut) que de juste suivre un cours.
  • Si l’enseignant.e va trop vite, et qu’on veut prendre des notes, on n’a pas le temps d’écouter les commentaires additionnels qu’il fait. Donc on ne profite pas vraiment de la présence de l’enseignant.
  • Si l’enseignant.e va trop lentement, ou s’il/elle parle sur un ton monotone qui donne envie de dormir, si la leçon du jour porte sur de la matière qu’on a l’impression de déjà bien connaître, alors on se dit qu’on perd son temps assis sur cette chaise, et qu’on aurait pu lire ça tout.e seul.e.
  • Si l’enseignant ne fournit pas de notes de cours, s’il n’utilise pas un texte de référence, ou s’il ne disponibilise pas les enregistrements de ses cours, alors on est obligé de prendre des notes, ou alors de demander à quelqu’un de nous passer les siennes.
  • Si il y a quelque chose qu’on ne comprend pas bien sur le moment, on aimerait bien lever la main mais devant personnes on a toujours peur que notre question soit trop bête. (Grave erreur!)
  • Le contact avec les assistant.e.s, c’est une seule fois par semaine pendant la séance d’exercices, donc faut vraiment en profiter. Et comme tout le monde en a besoin, ils sont très solicités, et on reste parfois longtemps la main levée avant d’avoir enfin de l’aide.
Même si ce format “classique” d’enseignement semble placer le contact humain au premier plan, en mettant l’enseignant.e et sa classe dans un même espace physique trois fois (!) par semaine, le vrai potentiel de l’enseignant.e est généralement sous-utilisé, puisqu’il a assez peu de contact avec ses étudiant.es.
Dans mes grandes classes, j’estime qu’environ de mes étudiant.es ne m’ont pas adressé une seule fois la parole.

Principe de la classe inversée

Par opposition à l’enseignement classique, le fonctionnement d’une classe inversée (Wiki) repose sur le principe suivant: la matière n’est plus présentée systématiquement devant un parterre passif d’étudiant.e.s, puisque ceux/celles-ci étudient la théorie avant la rencontre avec l’enseignant.e. Elles et ils viennent ensuite au contact de l’enseignant.e et de ses assistant.e.s, pour poser des questions sur la matière et les exercices.
Le système inversé représente un changement radical, puisqu’il suppose que la prise de contact avec le sujet du cours précède la rencontre avec l’enseignant.e:
Les avantages, pour commencer:
  • L’étudiant.e est libéré de la présence en auditoire à horaire fixe, lui donnant la liberté de s’organiser comme il/elle l’entend pour découvrir la matière théorique à son rythme, en utilisant le matériel fourni par l’enseignant.e.
  • L’enseignant.e s’appuie sur son matériel disponible à tout instant, et l’épargne de devoir déballer toute la matière au tableau chaque semaine. Il/elle peut ainsi se concentrer sur l’aide fournie à ses étudiant.es, en accompagnant leurs difficultés.
Ces avantages ont un prix, puisque le système donne des responsabilités aux deux parties:
  • S’il a une plus grande liberté, l’étudiant.e doit savoir la gérer: il/elle devra avoir la rigueur d’organiser son temps pour se dédier à l’étude du matériel didactique fourni.
  • Pour garantir que le système fonctionne, l’enseignant.e se doit fournir un matériel varié (en termes de texte, audio et vidéo), et une assistance efficace permettant d’aider ses étudiant.e.s dans leur assimilation du matériel. Ceci inclura en particulier la mise en place d’un système en ligne pour les questions/réponses.

Sur les classes inversées à l’EPFL

Les classes inversées existantes à l’EPFL (Analyse 1, d’Algèbre Linéaire, Physique, ICS, etc.) ont fait leurs preuves, et ont montré que les résultats finaux obtenus aux examens sont équivalents à ceux des classes normales.
Pour plus d’informations:
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9.1 Définition de la dérivée, exemples

Une question géométrique naturelle, et très utile pour l’étude d’une fonction, est de savoir comment calculer l’équation de la droite tangente au graphe d’une fonction, en un point :
Animation explicative
Pour connaître l’équation de cette droite, de la forme on commence par chercher sa pente . Et quand on cherche la pente d’une droite, on a besoin de deux points sur cette droite et ici, on n’en a qu’un, à savoir le point .
L’idée est de passer par un processus de limite. En effet, introduisons un deuxième point sur le graphe, , où est un point différent de , et considérons la sécante passant par les points et . La pente de cette sécante est donnée par Lorsque est proche de , cette pente approxime celle de la droite que l’on cherche, . Dans la limite (tester sur l’animation ci-dessus), elle devrait même tendre exactement vers : L’existence de la limite ci-dessus n’est pas garantie en générale.
Définition 9.1.
Soit définie en et dans son voisinage. On dit que est dérivable en si le nombre défini par la limite existe (et est fini). On appelle la dérivée (ou nombre dérivé) de au point .
Remarque 9.1.
Dans la limite qui définit , ci-dessus, la variable est utilisée uniquement pour calculer la limite; on dit qu’elle est muette. On peut donc écrire de différentes manières: où, dans la dernière égalité, on a fait le changement de variable .
Exemple 9.1.
Soit . Calculons sa dérivée au point : Donc la tangente à la parabole au point d’abscisse a une pente de (voir l’animation ci-dessous). Son équation est donc de la forme , et comme elle doit passer par le point , on trouve . Donc la tangente au point a pour équation .
Animation explicative
Exemple 9.2.
Soit . Au point ,
Animation explicative

9.1.1 Origines possibles de la non-dérivabilité en un point

Voyons quelques exemples de fonctions qui ne sont pas dérivables.
Animation explicative
Exemple 9.3.
Considérons Au point , le rapport donnant la pente de la droite de la sécante est qui comme on le sait ne possède pas de limite lorsque . Donc n’est pas dérivable en :
Exemple 9.4.
Considérons . Au point , la dérivée s’obtient en prenant la limite du rapport Or ce signe n’a pas de limite quand , donc n’est pas dérivable en . Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu’en ce point son graphe ne possède pas de droite tangente naturellement définie:
Exemple 9.5.
Considérons . Au point , la dérivée s’obtient en prenant la limite du rapport Or cette limite est , donc n’est pas dérivable en . Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu’en ce point son graphe possède une droite tangente, mais verticale (de pente infinie):

9.1.2 Taux d’accroissement et la notation de Leibniz

De par sa signification géométrique, la dérivée est toujours une limite d’un quotient de deux quantités qui tendent vers zéro. (C’est pour ça que les indéterminations “” sont si importantes!)
Interprétons cette limite en introduisant des nouvelles notations:
  • représente l’incrément de la fonction.
  • représente l’incrément de la variable.
D’un point de vue quantitatif, ces deux incréments sont petits lorsque est proche de ; dit exactement de combien varie lorsque s’écarte de d’une distance :
Ensuite, l’existence de la dérivée, signifie que quand l’incrément est petit, alors est essentiellement proportionnel à , la constante de proportionnalité étant : On conclut que la dérivée représente letaux d’accroissement localde en : si on varie la variable de à , alors la valeur de la fonction passe de à , où est essentiellement proportionnel à , comme dans la relation ci-dessus.
Informel 9.1.Si on admet pendant un instant qu’il est possible de considérer des incréments infiniment petits, de la fonction et de la variable, que l’on notera respectivement et , alors la dérivabilité de en signifie que ces deux infiniment petits sont proportionnels, la constante de proportionalité étant précisément la dérivée en : La notation suivante, appelée notation de Leibniz, est donc naturelle:

9.1.3 Dérivabilité implique continuité

On l’a dit, pour que soit dérivable en , il faut que sa droite tangente soit bien définie; elle doit être assez lisse en . En particulier, son graphe ne peut pas faire de saut en :
Lemme 9.1.
Si est dérivable en alors elle est continue en .
Proof
Si est dérivable en , alors en multipliant et divisant par , Donc , et donc est continue en .

Remarque 9.2.
Attention, la réciproque de l’affirmation du lemme n’est pas vraie. C’est-à-dire que “continuité” n’implique pas “dérivabilité”. Par exemple, on a vu que n’est pas dérivable en , pourtant elle est bien continue en ce point.
On a vu plus haut des fonctions (, ) qui étaient continues partout mais pas dérivables en un point. On pourrait, en adaptant ces exemples, construire des fonctions qui sont continues partout mais pas dérivables en un nombre arbitraire fini de points. Il est naturel de se poser la question de savoir s’il existe des fonctions qui sont continues partout mais dérivables nulle part. De telles fonctions existent...
Exemple 9.6.
Considérons Puisque cette fonction est bien définie pour tout ; elle est paire. Avec un peu plus de travail, on peut montrer qu’elle est aussi continue sur . Et avec encore un peu plus de travail, on peut montrer qu’elle n’est dérivable en aucun point de .
Animation explicative
Quiz 9.1.1.Soit dérivable en , dont la dérivée est notée . Alors
Quiz 9.1.2.Soient dérivables en . et soit définie par Alors est dérivable en , et .
Quiz 9.1.3.Soit définie sur un intervalle ouvert contenant , dérivable en . Vrai ou faux?
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