Séances contact

La séance contact pour la classe inversée d’Analyse 1 aura lieu les lundis de 8h15 à 10h, dans l’auditoire CE 1 6 (qui n’est pas celui de la photo).

En phase test, la rediffusion des séances: Ou alors via le lien externe.

Le but de cette séance sera de discuter et tester l’assimilation de la matière et des exercices de la semaine précédente.

On pourra y rencontrer l’enseignant et des assistants, et leur poser des questions sur la théorie, les exercices, le polycopié, ou tout autre sujet.
Je proposerai quelques quiz et exercices pour tester la compréhension des sujets de la semaine précédente. En fonction des problèmes rencontrés, on en profitera parfois pour reprendre/réexpliquer des parties du cours. Les quiz et exercices seront expliqués et entièrement corrigés.
Au fil de la séance, on suivra les questions posées sur le serveur; celles considérées d’intérêt général seront commentées.
Cette séance aura lieu dans une salle unique, pour faciliter la communication et l’interaction.

Les séances ne seront pas enregistrées, mais leurs contenu (quiz, exercices, etc.) sera reproduit intégralement dans les liens ”Séance XX”.

Remarquons qu’à la séance contact, vous aurez déjà eu accès à toutes les solutions des exercices de la semaine précédente.

Remarque 5.

Rappelons que la séance de contact est faite pour tester sa compréhension de la matière et les exercices de la semaine précédente: on y viendra préparé! Quelqu’un qui n’aura pas travaillé ne comprendra rien aux questions posées dans mes quiz et exercices du jour.

Bien sûr, la séance de la première semaine de cours sera un peu particulière puisqu’elle ne sera pas précédée par une semaine normale. Les informations suivront.

Revenons à la question posée précédemment: si l’équation

x^{2} = 2

ne possède pas de solution dans

Q

, en possède-t-elle une dans

R

Montrer qu’il existe effectivement un

x \in R

tel que

x^{2} = 2

, “directement” est trop difficile. On fait donc un petit détour, en commençant par définir l’ensemble

A := {x \in R_{+} : x^{2} < 2} .

Remarquons que par exemple

0 \in A

, ou encore

1 \in A

, et donc

A

n’est pas vide.

Lemme 1.3.

A

n’a pas d’élément maximal.

Proof

Il s’agit de montrer que pour tout élément

x \in A

, il existe toujours un

x^{'} \in A

qui est strictement plus grand que

x

.
Cherchons un

x^{'}

de la forme

x^{'} = x + \frac{1}{n}

, avec

n \in N^{*}

. Dans ce cas,

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} .

Puisque

n ⩾ 1

, on peut majorer:

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{n}

. Ainsi,

x^{' 2} ⩽ x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} .

Puisqu’on veut

x^{'} \in A

, c’est-à-dire

x^{' 2} < 2

, imposons

x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < 2,

qui est équivalente à

n > \frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}} .

Le membre de droite est bien défini et positif puisque

2 - x^{2} > 0

. Et un

n

satisfaisant à cette propriété existe toujours puisque, quelle que soit la valeur de

\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}

, il existe toujours un

n

plus grand que ce nombre (ceci découle du fait que

N

n’est pas majoré). Si on prend un tel

n

, on a donc

x^{'} = x + \frac{1}{n} > x

, et

x^{' 2} = (x + \frac{1}{n})^{2} = x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n ^{2}} < x^{2} + \frac{2 x}{n} + \frac{1}{n} = x^{2} + \frac{2 x + 1}{n} < x^{2} + \frac{2 x + 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x ^{2}}} = 2 .

Ceci montre que

A

n’a pas d’élément maximal.

□

Ensuite, remarquons que

A

est majoré:

x ⩽ 3

pour tout

x \in A

. En effet, si

x > 3

, alors

x^{2} > 9 > 2

, et donc

x \neq \in A

.
On peut maintenant considérer le réel défini comme le supremum de

A

s := sup A .

Théorème 1.1.

Le nombre

s

défini ci-dessus satisfait

s^{2} = 2

Proof

Si on avait

s \in A

, cela impliquerait que

s

est un élément maximal pour

A

. Comme on vient de voir que

A

ne possède pas d’élément maximal, on en déduit que

s \neq \in A

, et donc que

s^{2} ⩾ 2 .

Nous allons maintenant montrer que

s^{2} ⩽ 2 .

Pour ce faire, commençons par définir le réel

M := \frac{2 + s ^{2}}{2 s}

et montrons que

M

majore

A

. En effet, observons que si

x > M

, alors

x^{2} = (s + (x - s))^{2} = s^{2} + 2 s (x - s) + ⩾ 0 (x - s)^{2} ⩾ s^{2} + 2 s (x - s) > s^{2} + 2 s (M - s) = s^{2} + 2 s (\frac{2 + s ^{2}}{2 s} - s) = 2,

et donc

x \neq \in A

. Ceci implique que si

x \in A

, alors

x ⩽ M

; donc

M

majore

A

. Mais, comme

s

est par définition le plus petit majorant de

A

, on a que

s ⩽ M

, c’est-à-dire

s ⩽ \frac{2 + s ^{2}}{2 s},

qui est équivalente à

s^{2} ⩽ 2

.
Comme

s^{2}

est à la fois

⩾ 2

⩽ 2

, ceci implique

s^{2} = 2

□

Le nombre

s

est appelé racine carrée de deux, et est noté

s = 2 .

Puisque

2 \in R

mais

2 \neq \in Q

comme on a vu,

2

est par définition irrationnel.

1.7.1 La fonction “racine”

On peut, en utilisant la même idée que celle présentée dans la preuve de la section précédente, montrer que pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{2} = y

possède une solution dans

R_{+}

Cette analyse montre que la fonction

f : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x^{2}

et une surjection. On montre ici que c’est également une injection, et donc que cette fonction est une bijection.
Si

y ⩾ 0

, l’unique

x ⩾ 0

tel que

x^{2} = y

se note

x = y

, et se nomme racine carrée de $y$ . Toute la fonction réciproque s’appelle la fonction racine carrée:

f^{- 1} : R_{+} x \to R_{+} \mapsto x

Comme on sait, son graphe s’obtient en réfléchissant celui de

f (x) = x^{2}

à travers la diagonale du premier quadrant:

Remarque 1.4.

La méthode se généralise, et permet de montrer que pour tout

n \in N^{*}

, et pour tout

y \in R_{+}

, l’équation

x^{n} = y

possède une unique solution dans

R_{+}

. Celle-ci se note

n y

et se nomme racine $n$ -ème de $y$ .

L’utilisation de la notion de supremum/infimum, pour construire la racine carrée ci-dessus, n’est évidemment qu’un exemple de ce que l’on peut faire dans les réels. Comme on verra dans la suite, l’utilisation de ces notions sera utilisée constamment, et fournira un socle sur lequel toute l’analyse réelle pourra être construite.

Quiz 1.7.1.Pour montrer que dans

R_{+}

, l’équation “

x^{2} = 2

” possède une solution...

Quiz 1.7.2.Vrai ou faux?

1.7 Solutions de x2=2

1.7.1 La fonction “racine”

1.7 Solutions de $x^{2} = 2$