Les nombres réels forment avant tout un ensemble dans lequel on peut faire de l’arithmétique, c’est-à-dire dans lequel on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser. (En mathématiques, un ensemble muni de ces opérations est appelé un corps. )

La première opération, l’addition notée “$+$”, est une opération qui associe à une paire de réels $x,y$ un nouveau réel noté $x+y$. Cette opération satisfait aux propriétés suivantes:

1. $x+y=y+x$ pour toute paire $x,y\in \mathbb{R}$
2. $x+(y+z)=(x+y)+z$ pour tous $x,y,z\in \mathbb{R}$
3. Il existe un élément $0\in \mathbb{R}$, appelé élément neutre pour l’addition (ou simplement “zéro”), tel que $x+0=0+x=x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
4. Pour tout $x\in \mathbb{R}$ il existe un unique élément noté $-x\in \mathbb{R}$ et appelé opposé de $x$, tel que $x+(-x)=0$.

Si $x,y\in \mathbb{R}$, on peut définir leur soustraction: $$x-y:=x+(-y).$$ La deuxième opération, la multiplication, notée “$\cdot$”, associe à une paire de réels $x,y$ un nouveau réel noté $x\cdot y$. Elle satisfait aux propriétés suivantes:

1. $x\cdot y=y\cdot x$ pour tous $x,y\in \mathbb{R}$
2. $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$ pour tout triplet $x,y,z\in \mathbb{R}$
3. $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ pour tous $x,y,z\in \mathbb{R}$,
4. Il existe un élément $1\in \mathbb{R}$, appelé élément neutre pour la multiplication (ou simplement “un”), tel que $1\cdot x=x\cdot 1=x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
5. Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $x\ne 0$, il existe un unique élément noté $x^{-1}\in \mathbb{R}$, appelé inverse de $x$, tel que $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1$.

Souvent, on écrit $xy$ au lieu de $x\cdot y$.
Si $x,y\in \mathbb{R}$ et si $y\ne 0$, on peut définir leur division: $$\begin{array}{r}x÷y:=x\cdot y^{-1}.\end{array}$$ En général, on écrit $\frac{x}{y}$ au lieu de $x÷y$.