Séances contact

La séance contact pour la classe inversée d’Analyse 1 aura lieu les lundis de 8h15 à 10h, dans l’auditoire CE 1 6 (qui n’est pas celui de la photo).

En phase test, la rediffusion des séances: Ou alors via le lien externe.

Le but de cette séance sera de discuter et tester l’assimilation de la matière et des exercices de la semaine précédente.

On pourra y rencontrer l’enseignant et des assistants, et leur poser des questions sur la théorie, les exercices, le polycopié, ou tout autre sujet.
Je proposerai quelques quiz et exercices pour tester la compréhension des sujets de la semaine précédente. En fonction des problèmes rencontrés, on en profitera parfois pour reprendre/réexpliquer des parties du cours. Les quiz et exercices seront expliqués et entièrement corrigés.
Au fil de la séance, on suivra les questions posées sur le serveur; celles considérées d’intérêt général seront commentées.
Cette séance aura lieu dans une salle unique, pour faciliter la communication et l’interaction.

Les séances ne seront pas enregistrées, mais leurs contenu (quiz, exercices, etc.) sera reproduit intégralement dans les liens ”Séance XX”.

Remarquons qu’à la séance contact, vous aurez déjà eu accès à toutes les solutions des exercices de la semaine précédente.

Remarque 5.

Rappelons que la séance de contact est faite pour tester sa compréhension de la matière et les exercices de la semaine précédente: on y viendra préparé! Quelqu’un qui n’aura pas travaillé ne comprendra rien aux questions posées dans mes quiz et exercices du jour.

Bien sûr, la séance de la première semaine de cours sera un peu particulière puisqu’elle ne sera pas précédée par une semaine normale. Les informations suivront.

La deuxième caractéristique de l’ensemble des nombres réels est que deux réels

x, y

peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux,

x = y

, il n’y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts,

x \neq = y

, alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l’autre:

Si $x$ est plus petit que $y$ , on note $x < y$ .
Si $x$ est plus grand que $y$ , on note $x > y$ .

Le fait que l’on puisse ainsi comparer n’importe quelle paire de réels distincts représente ce qu’on appelle un ordre total.
L’ordre total représente l’intuition que nous avons pour la position relative de deux points sur une droite.

x < y

: “

x

est à gauche de

y

”,

x > y

: “

x

est à droite de

y

”,

Lorsqu’on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s’ils sont distincts:

Si $x$ est plus petit ou égal à $y$ , on note $x ⩽ y$ .
Si $x$ est plus grand ou égal à $y$ , on note $x ⩾ y$ .

Exemple 1.1.

Toutes les inégalités ci-dessous sont vraies:

0 < \frac{1}{2} ⩽ 1, 1 ⩾ 1, 3 < π < 4 ⩽ 4.1 .

Par contre, les suivantes sont fausses:

0 > 0, - 1 < - 2, 0.99999 \dots < 1 .

Énonçons les propriétés des relations “

⩽, ⩾, <, >

”:

Pour toute paire $x, y \in R$ , on a soit $x ⩽ y$ , soit $y ⩽ x$ . Si on a à la fois $x ⩽ y$ et $y ⩽ x$ , alors $x = y$ .
$x ⩽ x$ pour tout $x \in R$ .
Si $x ⩽ y$ et $y ⩽ z$ , alors $x ⩽ z$ .
Si $x ⩽ y$ , alors $x + z ⩽ y + z$ pour tout $z \in R$ .
Si $0 ⩽ x$ et $0 ⩽ y$ , alors $0 ⩽ x \cdot y$

Informel 1.1.La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu’un nombre

x

est plus petit ou égal à un nombre

z

, on passera souvent par l’utilisation d’un réel intermédiaire

y

, et on vérifiera les deux relations “

x ⩽ y

”, “

y ⩽ z

”, qui ensemble garantissent que

x ⩽ z

D’autres propriétés peuvent être obtenues à partir des propriétés de base.

Exemple 1.2.

Montrons que si

x ⩽ y

s ⩽ t

, alors

x + s ⩽ y + t

. En effet, par la propriété 4.,

x ⩽ y

implique

x + s ⩽ y + s

. Mais, encore une fois par la propriété 4.,

s ⩽ t

implique

y + s = s + y ⩽ t + y = y + t

. On a donc

x + s ⩽ y + s et y + s ⩽ y + t,

ce qui donne, par la propriété 3.:

x + s ⩽ y + t

1.3.1 Signe

Un réel

x \in R

est dit

positif (resp. strictement positif) si $x ⩾ 0$ (resp. $x > 0$ ),
négatif (resp. strictement négatif) si $x ⩽ 0$ (resp. $x < 0$ ).

Quiz 1.3.1.(Ordre total sur

R

.) Vrai ou faux?

Quiz 1.3.2.Vrai ou faux?

1.3 Ordre: ⩽,⩾,<,>

1.3.1 Signe

1.3 Ordre: $⩽, ⩾, <, >$