Analyse I / FLIPPED

EPFL Botafogo

Matériel didactique

Le contenu de ce cours est basé exclusivement sur mon polycopié interactif, accessible sur cette page (PDF plus bas).
Ce polycopié est déjà utilisé par de nombreux étudiant.es de BA1, et adapté pour être utilisable sur toutes les plateformes (desktop, tablette ou téléphone portable).
Durant le semestre, des liens vers les sections du polycopié seront donnés chaque semaine sur cette plateforme. Par exemple: 9.1 Définition de la dérivée(Si la fenêtre de votre navigateur est suffisamment large, cliquer sur ce lien fait apparaître la section dans la colonne de droite; s’il est trop étroit, la section s’ouvre dans un nouvel onglet.)
Remarque 4.
On profitera des fonctionnalités du polycopié (vidéos, microvidéos, animations, quiz) en utilisant sa version en ligne. Mais on pourra si on le désire utiliser le PDF: Polycop_analyse_Friedli_2026_09_07.

Autres ressources

Insistons sur le fait que le contenu du polycopié (incluant les quiz) et des exercices des séries est amplement suffisant pour se préparer à l’examen.
Mais, si on le veut vraiment, on peut toujours utiliser d’autres ressources.
Par exemple:
  1. Vous aurez chaque semaine (dans les liens “Contenu” du menu de gauche) les vidéos des enregistrements des cours hebdomadaires d’Analyse 1 donnés à la Section de Génie Mécanique. Ces vidéos apparaîtront également dans la Timeline.
  2. Le MOOC d’Analyse 1 de Peter Wittwer, bien que très récent, a déjà fait ses preuves, et a remporté un certain succès auprès des étudiants des classes inversées des années précédentes.
  3. Les notes de cours de David Strütt.
  4. Le serveur d’exercices EXOSET, hébergé à l’EPFL (en construction).
  5. Le livre de Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral 1, a été utilisé pendant plus de 30 ans à l’EPFL. Il se trouve à la bibliothèque. Sa dernière édition:
Sinon, quelques canaux Youtube célèbres, qui présentent les choses de façon plutôt calculatoire (donc pas forcément utile pour les questions théoriques, mais éventuellement pour vous fournir d’autres challenges calculatoires en plus des exercices des séries):
Attention: le contenu des vidéos que je suggère parfois n’est pas considéré comme de la matière du cours! (Je ne prends aucune responsabilité sur l’exactitude du contenu de ce qui est présenté en dehors de mon cours ou de mon polycopié, évidemment.)
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II.2 Fonctions

II.2.1 Notion de fonction

Dans cette section, on rappelle quelques définitions élémentaires relatives à la notion de fonction. Même si dans ce cours on s’intéressera surtout à des fonctions réelles d’une variable réelle, ce que l’on présente ici est très général et s’applique à des situations très diverses, comme par exemple l’étude des applications linéaires en algèbre linéaire.
Animation explicative
Définition II.1.
Soient deux ensembles quelconques non-vides. Une fonction de dans , est une règle qui associe à chaque élément un (et un seul) élément , appelé l’image de (par ), et on écrit On dit alors que est une préimage (ou un antécédent) de .
Lorsque est associé à , on pourra penser à cette association comme à une “flèche de vers ”. En termes de flèches, une fonction de dans est donc bien définie une fois que l’on a, pour chaque , exactement une flèche reliant ce à un (et un seul) . En particulier, il ne peut pas y avoir deux flèches sortant d’un .
Animation explicative
Pour des raisons évidentes, est parfois appelé l’ensemble de départ, et l’ensemble d’arrivée.
Pour bien indiquer l’ensemble de départ et d’arrivée d’une fonction, on écrit
Exemple II.5.
Considérons , , et définissons la fonction comme suit: pour , Ici, et possèdent chacun une infinité de préimages, possède préimages, et ne possède aucune préimage.

II.2.2 Ensemble image

Il est naturel de considérer, pour commencer l’étude d’une fonction, de déterminer quels sont les éléments de l’ensemble d’arrivée qui possèdent au moins une préimage:
Animation explicative
Définition II.2.
L’ensemble image de est défini par
Par la définition de fonction, une flèche sort de chaque ; mais tous les ne sont pas forcément atteints par une flèche. L’ensemble image est donc constitué des éléments de l’ensemble d’arrivée qui sont atteints par au moins une flèche. On peut imaginer obtenu en “balayant” tout avec la variable , et en observant tous les obtenus.
Animation explicative
Exemple II.6.
Soit , , et la fonction définie par: Alors (puisque n’a pas de préimage).

II.2.3 Surjection

Par définition, l’ensemble image d’une fonction est un sous-ensemble de , , et il est naturel de considérer les fonctions pour lesquelles il coïncide exactement avec :
Animation explicative
Définition II.3.
est surjective si , c’est-à-dire si chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins une préimage.
Informel II.1.Une fonction est surjective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par au moins une flèche; en d’autres termes, si les flèches qui partent de “remplissent bien” tout l’ensemble d’arrivée.
Exemple II.7.
La fonction est surjective. En effet, prenons un quelconque. Si on considère , alors donc est antécédent de , et donc .
Exemple II.8.
Soit l’ensemble des étudiant.e.s dans l’auditoire, et soit . Considérons où est le nombre de frères et soeurs de . Pour trouver , on peut procéder comme suit: pour tout , on pose la question: “Qui possède exactement frères et soeurs?” Si au moins une main se lève, c’est que . Dès qu’on a un pour lequel aucune main se lève, c’est que n’est pas surjective. Pour s’assurer facilement que n’est effectivement pas surjective, on peut simplement poser la question: “Est-ce que quelqu’un a plus de frères et soeurs?” Si personne ne lève la main, c’est que . (Si on sonde l’auditoire, on observe probablement quelque chose comme .)
Toute fonction peut être transformée en une fonction surjective, en modifiant simplement son ensemble d’arrivée. En effet, si n’est pas surjective, c’est que son ensemble d’arrivée est “trop grand”: est un sous-ensemble stricte de . On peut alors retirer les éléments de qui ne sont pas dans l’image, et obtenir une fonction surjective. Plus précisément, est surjective.
Exemple II.9.
La fonction n’est pas surjective, puisque si est impair, il ne possède pas de préimage. Ici, , l’ensemble de tous les entiers positifs pairs. En restreignant son ensemble d’arrivée à , on obtient qui est surjective.

II.2.4 Injection

Une deuxième chose naturelle à considérer, pour une fonction donnée, est de savoir si celle-ci sépare les points, c’est-à-dire si des points différents, dans l’ensemble de départ, ont des images différentes:
Définition II.4.
est injective si implique .
Informel II.2.Si la fonction est injective, des flèches qui partent de points différents doivent arriver en des points différents!
Exemple II.10.
Considérons Puisque et , n’est pas injective.
Une caractérisation équivalente de l’injectivité, plus commode à manipuler dans la pratique, est la suivante: est injective si implique .
Exemple II.11.
Montrons que est injective. Pour ce faire, prenons deux éléments , et supposons que , c’est-à-dire Quelques manipulations montrent que cette dernière identité est équivalente à qui n’est vérifiée que si au moins une des parenthèses est nulle. Or la première est nulle si , et puisque , la deuxième ne peut s’annuler que si . Dans tous les cas, on a bien montré que implique , donc est injective.

II.2.5 Bijection

Voyons ce qui se passe lorsqu’une fonction possède en même temps les deux propriétés introduites dans les sections précédentes.
Définition II.5.
Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
L’intérêt d’une fonction bijective est qu’on peut l’inverser, ce qui signifie revenir de l’ensemble image à l’ensemble de départ, sans ambiguïté.
En effet, supposons que est bijective, et fixons un élément quelconque de l’ensemble d’arrivée, .
  1. Comme est surjective, possède au moins une préimage.
  2. Comme est injective, possède au plus une préimage.
Animation explicative
On en déduit que possède exactement une préimage dans l’ensemble de départ: on la note . Avoir associé à tout un unique élément signifie que nous avons défini une fonction de dans . Puisque cette fonction permet d’obtenir l’unique préimage de chaque élément de , on l’appelle la réciproque de : Par définition, la réciproque permet de récupérer la préimage: Mais aussi,
Remarque II.1.
L’utilisation du symbole “”, pour la réciproque, est largement répandue, et nous l’utiliserons, mais elle peut prêter à confusion. En effet, pour des fonctions numériques, ne doit en aucun cas être confondu avec , qui signifie !
Exemple II.12.
Montrons que la fonction est bijective. (On utilise des couleurs uniquement pour distinguer les ensembles de départ et d’arrivée.)
  • Soient . On a
    donc est injective.
  • Soit . Montrons que possède une préimage, à savoir un tel que . En effet, on peut simplement isoler dans “” et trouver . Comme , on a bien trouvé une préimage pour . Donc est surjective.
Maintenant que est bijective, donnons sa réciproque explicitement: L’expression de a en fait été trouvée plus haut: il s’agit d’isoler dans , ce qui donne .
Quiz II.2.1.On considère les ensembles , Quelles règles ci-dessous définissent une fonction ?
Quiz II.2.2.Vrai ou faux? L’ensemble image d’une fonction , c’est
Quiz II.2.3.Vrai ou faux? Si est injective, alors
Quiz II.2.4.Si n’est pas injective, alors
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