Fonctionnement de cette classe inversée

On a décrit plus le haut le principe de l’enseignement inversé. La présente plateforme, avec son polycopié interactif, ses exercices et son système de questions/réponses, prétend offrir une structure sur laquelle organiser un tel enseignement.

On trouvera, en bas de cette page, quelques remarques faites par des étudiant.e.s lors des semestres précédents.

Organisation hebdomadaire

On distinguera la séance de contact, qui est le moment de la semaine où nous nous rencontrerons pour tester la compréhension de la matière assimilée, et la séance d’exercices, pendant laquelle vous appliquerez la matière dans la résolution d’exercices concrets.

Généralement (à l’EPFL en tout cas), l’organisation hebdomadaire d’une classe inversée contient deux séances de contact et une séance d’exercices.

Ici, nous offrirons une seule séance de contact et deux séances d’exercices:

Lundi, 8h-10h: Séance de contact, servant à tester la compréhension de la matière de la semaine précédente.
Lundi, 10h-12h: première séance d’exercices
Mercredi, 10h-12h: deuxième séance d’exercices

Précisons que la quantité d’exercices reste la même que pour une classe normale: il y a juste plus de temps à disposition au contact de l’enseignant et des assistant.es.

Remarque 3.

Il y a deux raisons au passage de “2 séances contact + 1 séance exercices” (2023) à “1 séance contact + 2 séances exercices” (2024).

La première est que j’ai donné en 2023 une version online du cours d’Analyse 1, qui a très bien marché (au vu des résultats des étudiant.es), et pour laquelle j’ai utilisé le système “1 séance contact + 2 séances exercices”.
Dans leur évaluation de cours en 2023, des étudiant.es des classes inversées d’Analyse 1 et d’Algèbre linéaire ont trouvé qu’une des séances de contact était de trop et pourrait être transformée en une séance d’exercices.

Parallélisme avec MATH-101(c)

Cette classe inversée suivra de très près ma classe “classique” d’Analyse 1 de la section de Génie Mécanique, à savoir MATH-101(c). En particulier:

La matière présentée, les exercices, le chronogramme et l’examen seront exactement les mêmes que ceux de MATH-101(c).
Tous les cours hebdomadaires (ex cathedra) donnés en MATH-101(c) sont streamés et enregistrés. Tous les liens nécessaires sont disponibles sur la page des streams et enregistrements. Les enregistrements des cours des années précédentes sont aussi disponibles dans la barre de navigation.

Signalons que depuis 2015, l’examen d’Analyse 1 (tout comme celui d’Algèbre linéaire) contient une partie commune à toutes les sections, pour la plupart sous forme de questions à choix multiples, de questions vrai/faux, et de une ou plusieurs questions ouvertes.

Donc

80%

de l’examen de MATH-101(pi) et MATH-101(c) sera commun avec toutes les autres sections.

Matériel didactique

Voir ici.

Exercices et solutions

Tous les exercices et leurs solutions seront accessibles sur cette plateforme (voir “Séries” dans la barre de navigation de gauche). Certains exercices contiennent des indications qui permettent d’avancer même sans l’aide d’assistant.es.

Voir aussi les remarques à propos des quiz et des exercices. Vous saurez dans quelles salles vous rendre en cliquant ici.

Poser des questions

“A good course is a course with many stupid questions. ”

Wendelin Werner, Rio de Janeiro, 2008.

Le plus important, pour assimiler une matière nouvelle, c’est de... discuter et poser beaucoup de questions. Les séances de contact et d’exercices sont faites pour ça: poser toutes vos questions.

Ensuite, on pourra poser des questions sur le serveur, toujours de façon anonyme:

Sur la matière, directement dans les paragraphes du polycopié en ligne.
Sur les exercices, directement sur la page web de l’exercice. Remarquons que chaque exercice, sur le serveur, contient les questions déjà posées par les étudiant.e.s de MATH-101(c) et MATH-101(ol) en 2023/2024 accompagnées mes réponses et de celles des assistant.e.s. Le système est donc fait pour qu’on profite au maximum des questions posées par les autres.
Pour les questions d’ordre général/organisationnelles, on pourra aller sur Forum questions $>$ Questions générales PI.

Concernant les questions posées sur le serveur: chaque réponse donnée à une question sera accompagnée d’un email envoyé à la personne qui a posé la question.

Timeline

Pour pouvoir couvrir toute la matière sur 14 semaines, le cours avance à un rythme relativement soutenu. Toutes les sections étudiées seront données dans le contenu de chaque semaine, et se trouvera résumé en cliquant sur le lien Timeline du menu de gauche (sous Informations générales).

Pour se faire une idée du rythme auquel la matière est présentée au fil du semestre, on pourra jeter un oeil à l’agenda des années précédentes (la timeline est prise du cours d’Analyse 1 pour les étudiant.e.s de GM, mais la matière hebdomadaire est la même pour toutes mes classes):

Remarques d’anciens étudiants

Les quelques remarques ci-dessous sont tirées de l’évaluation approfondie qui a eu lieu les années précédentes. (Toutes les réponses sont anonymes.)

“Atmosphère d’apprentissage excellente. ”

(2025)

“Il fait trop froid, s’il vous plaît diminuez la climatisation.”

(2025)

“Polycopier très organisé! les quizzes à la fin de chaque section aide beaucoup à la compréhension du sujet. 4heures d’exercices par semaine c’est parfait! ”

(2025)

“Ce cours en classe inversée nécessite certes plus de temps qu’en format classique, mais c’est une très bonne opportunité de comprendre les choses par soi-même et de progresser à son rythme. Les 4 heures de séances d’exercices par semaines permettent de poser toutes nos questions aux assistants, qui sont d’ailleurs très bons et intéressants. De plus, la séance de contact fournit encore plus d’exercices et donc de matière pour s’entraîner, ce qui est très bien pour un cours de BA1. La plateforme botafogo est un outil très utile, elle est très bien organisée, très clair et détaillée, et les ressources et aides en cas de questions sont disponibles partout en tout temps avec les forums à disposition. Ce cours devrait continuer ainsi! ”

(2025)

“Cours très sympa. Entre le cours et les exercices, ce sont les exercices qui me prennent le plus de temps. C’est pour cela que je trouve super le fait d’avoir 4h pendant la semaine réservée aux exercices de série. De plus, il n’y a pas énormément de monde dans la salle polyvalente pendant les séances de contact ce qui nous épargne d’un environnement de travail bruyant. ”

(2024)

“Cours vraiment intéressant et bien construit. Je prends beaucoup de plaisir chaque semaine à assister au cours d’analyse inversée. J’apprécie beaucoup le fait d’avoir 4h de séance d’exos au lieur de 2h. Les assistants sont également très compétent et répondent bien aux questions ”

(2024)

“Le cours est très bien construit, les supports sont nombreux ce qui permet au plus grand nombre de trouver une manière de travailler la matière à sa façon. Le fait qu’il est y ait 4 heures d’exercices dans la semaine est vraiment très intéressant, cela permet de poser toutes les questions que l’on veut et permet ainsi une meilleure compréhension du cours. De plus, je trouve personellement que la retransmission vidéo des cours donnés au GM est très utile. ”

(2024)

“J’aime beaucoup le fait qu’on ait 2 séances d’exercices et 1 séances de contact. Cela nous donne plus de temps pour faire les exos en présence des assistants. De plus, le format des exercices avec les indications aident beaucoup dans les résolutions quand on est chez soi. ”

(2024)

“Je trouve que les séances contact sont très bien organisées et riches en informations. De plus, avec toutes les ressources disponibles, chacun peut avoir accès aux ressources qui lui conviennent pour assurer au mieux sa formation. C’est parfait. ”

(2024)

“La classe en inversée me correspond totalement sachant que j’ai déjà fais un premier BA1. Je trouve le cours en ligne extrêmement clair et j’aime beaucoup les petites vidéos qui accompagnent le texte ainsi que les petites animations. Personnellement je n’utilise pas le cours redifusé des GM mais je pense que certains l’apprécie. J’ai le ressenti qu’il y a un bon nombre d’assistants dans la salle donc ça c’est cool, on se sent entouré. Rien à dire en terme d’amélioration je trouve que tout est top ! ”

(2024)

“La plateforme donne vraiment une plus value à l’apprentissage de la matière. Les animation interactives donnent une meilleurs visualisation d’un concept. Cependant il faut faire attention au trop d’information et bien choisir entre le polycopiés les vidéos et les sources externes. La plateforme donne un cours interactif et qualitatif. ”

(2024)

“Le site est tout simplement parfait. Malgré la difficulté de la matière; grâces aux ressources du site, au forum, à l’aide des assistants etc..., l’analyse me semble accessible et à ma portée. ”

(2024)

“Les moyens d’enseignement sont efficaces et variés (surtout les quiz tirés d’anciens examens, qui sont difficiles et préparent bien). L’enseignant explique efficacement mais semble parfois manquer un peu d’enthousiasme. ”

(2024)

“Super plateforme de travail ! ”

(2024)

“Compliqué dans les aspects de gestion du temps ”

(2024)

“Je trouve le format du cours top, surtout les petites vidéos et quizzs! Je trouve juste dommage qu’on n’est pas le droit à une petite feuille d’annotation pour l’examen. Seulement pour mettre quelques définitions et théorèmes et pouvoir un peu plus se concentrer sur la résolution des exercices sans avoir peur d’avoir oublié la théorie. Surtout qu’il y a beaucoup de matière étaler sur plusieurs thèmes différents. ”

(2024)

“Juste si c’est possible d’ajouter le pdf écris pendant le cours ”

(2024)

“Le professeur est à l’écoute et réponds à toutes les questions (même les plus stupides), et ce sans juger... Cependant des fois la charge de travail est lourde, mais ça prépare bien. ”

(2024)

“Je trouve que étant en analyse inversé le cours est vraiment optimal à l’apprentissage, ce que je trouve le mieux c’est qu’on a 4h d’exercices avec les assistants contrairement à ceux en analyse normal en GM qui n’ont que 2h d’exercices. Honnêtement j’arrive tout juste à finir la série en 4h alors je me demande bien comment font ceux qui n’ont que 2h.

La seule chose qui m’interroge c’est la mise au point d’une IA pour répondre à nos questions sur le site, à la place des réponses du prof. Personnellement si j’avais envie qu’une IA me réponde je demanderai à chat GPT. Ce que j’aime quand je pose des questions sur le site c’est d’avoir une réponse « humaine » parce-que il y a vraiment une différence entre les deux. Donc peut être pourrions nous avoir l’option de choisir si on veut juste une réponse IA ou une réponse de la part du prof/assistant? ”

(2024)

“Les ressources disponibles pour le cours sont très bonnes ; je suis satisfait d’avoir pris la classe inversée. Peut-être un peu trop d’exercices supplémentaires le lundi. Le temps de travail n’est pas du tout correspondant aux crédits en revanche. J’ai autant travaillé dans cette matière que dans toutes les autres réunies (alors que physique mécanique semble plus difficile). ”

(2024)

Petit sondage réalisé l’année dernière, une première fois un peu après le début du semestre, une deuxième fois près de la fin du semestre:

La méthode de preuve par récurrence (appelée aussi preuve par induction) est une technique de démonstration qui, quand elle s’applique, permet de démontrer une infinité d’affirmations en seulement deux étapes.

Supposons que l’on définisse, pour chaque entier

n ⩾ 1

, une certaine propriété

P (n)

. Pour chaque

n

P (n)

est soit vraie, soit fausse.

Exemple II.17.

Soit

P (n) =

“le nombre entier

n

est divisible par

2

”. Alors

P (1)

est fausse,

P (2)

est vraie,

P (3)

est fausse, etc. Donc on peut tout de suite résoudre tous les cas:

P (n)

est vraie si

n

est pair, fausse si

n

est impair.

En mathématiques, on a souvent besoin de montrer qu’une infinité de propriétés sont vraies simultanément:

P (1)

est vraie,

P (2)

est vraie,

P (3)

est vraie, etc.
Si ces propriétés

P (n)

n’ont rien à voir les unes avec les autres, on n’a d’autre alternative que de les vérifier les unes après les autres.

Exemple II.18.

Supposons qu’un certain univers contienne une infinité de galaxies. Soit

P (n)

la propriété “il existe, dans cet univers, une galaxie dans laquelle on peut trouver exactement

n

planètes sur lesquelles on trouve de la vie”.
Si on fixe un

n

et qu’on se pose la question de savoir si

P (n)

est vraie ou fausse, on n’a qu’un seul moyen d’obtenir la réponse: parcourir tout l’univers jusqu’à trouver une galaxie contenant exactement

n

planètes sur lesquelles on trouve la vie.

Si on a de la chance, on peut espérer étudier la véracité de ces propriétés

P (n)

en profitant de certaines relations pouvant exister entre elles, pour des

n

différents.
Dans le cas de la récurrence, on s’intéresse à une relation entre les paires d’entiers consécutifs,

n

n + 1

, et la relation considérée est la suivante: si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ est vraie aussi.

Exemple II.19.

Dans l’exemple du dessus (galaxies), il n’y a aucune corrélation du genre entre les propriétés

P (n)

pour des

n

différents, puisque savoir que

P (n)

est vraie n’implique pas forcément que

P (n + 1)

soit vraie aussi.

Exemple II.20.

Supposons que l’on ait devant nous une très longue table sur laquelle sont posés une infinité d’ordinateurs, numérotés

1, 2, 3, \dots

. On découvre avec effroi que sur chacun de ces ordinateurs est installé un système opérationnel propriétaire, issu d’une grande compagnie.

On suppose que ces ordinateurs sont tous allumés, et que pour tout

n

, le

n

-ème ordinateur envoie constamment des données non-cryptées vers son voisin

n + 1

. Dans ce cas, il est absolument certain que si l’ordinateur

n

est infecté par un virus, alors l’ordinateur

n + 1

est infecté aussi. En d’autres termes, si on définit la propriété

P (n) =

“le

n

ème ordinateur est infecté par un virus”, on sait que si

P (n)

est vraie, alors

P (n + 1)

est vraie aussi.
Ceci a la conséquence suivante: si un seul de ces ordinateurs est infecté, alors tous les suivants le sont aussi. En particulier, si le premier est infecté, alors tous sont infectés.

La méthode de démonstration par récurrence consiste à donner une démonstration dans laquelle on utilise une structure semblable à celle de ce dernier exemple. On la résume comme suit:
Montrer par récurrence qu’une infinité de propriétés

P (n)

(

n = 1, 2, 3, \dots

) sont vraies, cela consiste

à vérifier que la première propriété $P (1)$ est vraie, (c’est l’initialisation), puis
à vérifier que quel que soit l’indice $n ⩾ 1$ , si $P (n)$ est vraie, alors cela entraîne que $P (n + 1)$ est vraie aussi (c’est le pas d’induction).

Si on peut effectivement vérifier ces deux étapes, alors 1. implique que

P (1)

est vraie, mais alors 2. implique que

P (2)

est vraie aussi, mais alors 2. implique que

P (3)

est vraie aussi, etc. Par ce procédé, on démontre donc bien que

P (n)

est vraie pour tout

n ⩾ 1

Informel II.3.Pour que le pas d’induction ait une chance de fonctionner, il faut évidemment que les propriétés

P (n)

P (n + 1)

puissent être mises en relation, quel que soit

n

! Et là, la difficulté est de travailler avec un

n

quelconque, dont on ne spécifie pas la valeur; dans les situations concrètes, ceci implique en général un calcul littéral, dans lequel on manipule ce

n

inconnu.

Exemple II.21.

Nous allons montrer que pour tout

n \in N^{*}

1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Commençons par nommer les deux membres de l’identité ci-dessus, en posant

a_{n} := 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n, et b_{n} := \frac{n ( n + 1 )}{2} .

Pour un

n

spécifique pas trop grand, on peut toujours le vérifier en calculant la valeur de

a_{n}

, puis celle de

b_{n}

, puis de voir si elles sont égales. Par exemple,

pour $n = 1$ , on a $a_{1} = 1$ et $b_{1} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ , et donc $a_{1} = b_{1}$
pour $n = 2$ , on a $a_{2} = 1 + 2 = 3$ et $b_{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ , et donc $a_{2} = b_{2}$ .

On voit donc que

a_{1} = b_{1}

a_{2} = b_{2}

.
On pourrait continuer à vérifier la relation “

a_{n} = b_{n}

” pour des

n

toujours plus grands, en calculant séparément les nombres

a_{n}

b_{n}

“à la main”, et en vérifiant qu’ils sont effectivement égaux. Mais ceci n’exclut pas qu’il existe un

n

, éventuellement très grand, pour lequel

a_{n} \neq = b_{n}

!
Définissons donc, pour tout

n ⩾ 1

, la propriété

P (n)

comme étant: “pour l’entier

n

, on a

a_{n} = b_{n}

”. Montrons, par récurrence, que

P (n)

est vraie pour tout

n ⩾ 1

Initialisation: on a déjà vérifié plus haut, “à la main”, que $a_{1} = b_{1}$ , et donc on sait que $P (1)$ est vraie.
Pas d’induction: supposons que pour un $n$ donné (dont on n’a pas besoin de spécifier la valeur), $P (n)$ est vraie , c’est-à-dire que l’on a effectivement
$a_{n} = b_{n} .$
Pour montrer que ceci entraîne que $P (n + 1)$ est vraie, on va faire un calcul, à l’issue duquel on obtiendra que $a_{n + 1} = b_{n + 1}$ . Or la structure du problème fait que $a_{n + 1}$ peut être relié à $a_{n}$ . En effet,
$a_{n + 1} = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n + (n + 1) = a_{n} + (n + 1) .$
Mais, puisque l’on est en train de supposer que $a_{n} = b_{n}$ , on peut l’utiliser et faire un peu d’arithmétique:
$a_{n + 1} = b_{n} + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) + 2 ( n + 1 )}{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} .$
Mais puisque
$\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} = \frac{( n + 1 ) (( n + 1 ) + 1 )}{2} = b_{n + 1},$
on a bien montré que $a_{n + 1} = b_{n + 1}$ . Ceci montre que si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ est vraie aussi.

On a donc bien montré que

P (n)

est vraie pour tout

n ⩾ 1

Remarque II.2.

En utilisant la même technique, on peut montrer que pour tout

n \in N

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

En fait il existe des formules semblables pour toute somme du type

1^{k} + 2^{k} + 3^{k} + \dots + n^{k},

où

k ⩾ 1

est un entier. Voir ici (Mathologer) pour plus d’informations.

Exemple II.22.

Posons, pour tout

n ⩾ 1

a_{n} = 1 0^{n} - 1

, et considérons l’affirmation

P (n)

définie par “

a_{n}

est un multiple de

9

”.

Pour $n = 1$ , on a $a_{1} = 1 0^{1} - 1 = 9$ , qui est un multiple de $9$ .
Supposons que $P (n)$ est vraie, c’est-à-dire que $a_{n}$ est un multiple de $9$ . Ceci s’exprime en disant qu’il existe un entier $k$ tel que $a_{n} = 9 k$ . Remarquons alors qu’on peut écrire
$a_{n + 1} = 1 0^{n + 1} - 1 = 10 \cdot 1 0^{n} - 1 = 10 (a_{n} + 1) - 1 = 10 (9 k + 1) - 1 = 9 (=: k^{'} 10 k + 1) .$
Or puisque $k$ est un entier, $k^{'} = 10 k + 1$ est aussi un entier. Donc $a_{n + 1} = 9 k^{'}$ : $a_{n + 1}$ est aussi un multiple de $9$ , et donc $P (n + 1)$ est vraie.

Ceci montre que

P (n)

est vraie pour tout

n ⩾ 1

II.7.1 La formule du binôme de Newton

Rappelons la définition des coefficients binômiaux. Pour un entier

n ⩾ 1

quelconque, et pour tout

1 ⩽ k ⩽ n

(k n) := \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

En combinatoire,

(k n)

compte le nombre de façons d’arranger

k

objets indistingables dans

n

boîtes (un objet par boîte).

Lemme II.3.

(formule du binôme de Newton) Soient

x, y \in R

. Alors pour tout entier

n ⩾ 1

(x + y)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{n - k} y^{k} .

Voir aussi la vidéo de Michael Penn.

Analyse I / FLIPPED

Fonctionnement de cette classe inversée

Organisation hebdomadaire

Parallélisme avec MATH-101(c)

Matériel didactique

Exercices et solutions

Poser des questions

Timeline

Remarques d’anciens étudiants

II.7 Preuves par récurrence

II.7.1 La formule du binôme de Newton